Se presentan los pasos para calcular la integral de la función logarítmica natural : \( \displaystyle \int \ln x \; dx \).
Primero reescribimos la integral dada como
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = \int 1 \cdot \ln x \; dx \)
Sea \( u = x \) y \( v = \ln x \) cuyas primeras derivadas están dadas por \( u' = 1 \) y \( v' = \dfrac{1}{x} \)
Nuestra integral tiene la forma
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = \int u' \cdot v \; dx \)
Usa la integración por partes para escribir
\( \displaystyle \int \ln x \; dx = u v - \int u \cdot v' \; dx \)
Sustituye \( u, v \) y \( v' \) para obtener
\( \displaystyle = x \ln x - \int x \dfrac {1}{x} \; dx \)
Simplifica el término a la derecha
\( \displaystyle = x \ln x - \int dx \)
y evalúa la integral
\( = x \ln x - x + c \)
donde \( c \) es la constante de integración.
Por lo tanto
\[ \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \]
