Calcula la integral
\[ \int \sec x \; dx \]
Usa \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) para reescribir la integral como
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \; dx \]
Multiplica tanto el numerador como el denominador del integrando a la derecha por \( \cos x \)
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) en la parte derecha y escribe
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \; dx \]
Usa la integración por sustitución: \( u = \sin x \) de manera que \( du = \cos x dx \), y la integral dada se puede escribir como
\[ \int \sec x \; dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \; du \]
Usa la descomposición en fracciones parciales para escribir el integrando como
\[ \dfrac{1}{ (1-u^2)} = \dfrac{1}{2\left(u+1\right)}-\dfrac{1}{2\left(u-1\right)} \]
Sustituye en la integral
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u+1} du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u-1} du \]
Usa la fórmula de integración \( \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln | f(x)| +c \) para obtener
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln |u+1| - \dfrac{1}{2} \ln |u-1| + c\]
Agrupa las expresiones logarítmicas usando las propiedades \( \quad \ln \dfrac{a}{b } = \ln a - \ln b \) para escribir
\[ \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{|u+1|}{|u-1|} + c \]
Sustituye de nuevo \( u = \sin x \)
\[ \boxed { \int \sec x \; dx = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{|\sin x+1|}{|\sin x-1|} +c } \]
