Evaluación de Integrales que Involucran Logaritmos - Tutorial
Evaluar integrales que involucran funciones logarítmicas naturales: un tutorial, con ejemplos y soluciones detalladas. También se presentan ejercicios con respuestas al final del tutorial.
Puedes usar la tabla de integrales y las propiedades de las integrales en este sitio. En lo que sigue, \( C \) es una constante de integración y puede tomar cualquier valor constante.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Evaluar la integral
\[ \int \ln(x) \, dx \]
Solución del Ejemplo 1:
Sea \( U = \ln(x) \) y \( V' = 1 \) y use la integración por partes. Por lo tanto, \( U' = \dfrac{1}{x} \) y \( V = x \)
\[ \int \ln(x) \, dx = \int U V' \, dx \\\\
= U V - \int U' V \, dx \\\\
= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\\
= x \ln(x) - x + C \]
Comprobación: Diferencie \( x \ln(x) - x + C \) y vea que obtiene \( \ln(x) \) que es la función a integrar en la integral dada. Esta es una forma de verificar la respuesta a la evaluación de integrales indefinidas.
Ejemplo 2
Evaluar la integral
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx \]
Solución del Ejemplo 2:
Sustitución: Sea \( u = 2x + 1 \) lo que lleva a \( \dfrac{du}{dx} = 2 \)
o \( du = 2 \, dx \) o \( dx = \dfrac{du}{2} \), la integral anterior se convierte en
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]
Ahora usamos las fórmulas de integrales para \( \ln(x) \) (encontradas en el ejemplo 1) para obtener
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]
Ahora sustituimos \( u \) por \( 2x + 1 \) en lo anterior para obtener
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]
donde \( K = C - \dfrac{1}{2} \) y es una constante.
Comprobación: Diferencie \( \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \) y vea que obtiene \( \ln(2x + 1) \) que es la función a integrar en la integral dada. Esta es una forma de verificar la respuesta a la evaluación de integrales indefinidas.
Ejemplo 3
Evaluar la integral
\[ \int x \ln x \, dx \]
Solución del Ejemplo 3:
Sea \( f(x) = \ln x \) y \( g'(x) = x \) lo que da \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) y \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \).
Usando la integración por partes
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \] , obtenemos
\[ \int x \ln x \, dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \
]
\[ = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \]
\[ = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \].
Práctica: Diferencie \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) para obtener la función a integrar \( x \ln x \) en la integral dada.
Ejemplo 4
Evaluar la integral
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \]
Solución del Ejemplo 4:
Sea \( u = \ln x \) de modo que \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \); después de la sustitución, la integral dada se puede escribir como
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]
Integrar para obtener
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]
Sustituir \( u \) por \( \ln x \)
\[ = \left[\ln x\right]^2 / 2 + C \]
Como ejercicio, comprueba la respuesta final mediante diferenciación.
