Problema : Encuentra el volumen de un tronco de cono con altura \( h \) y radios \( r \) y \( R \) como se muestra a continuación.
Solución al problema:
Un tronco de cono se puede obtener al girar \( y = m x \) entre \(x = a \) y \( x = b \) alrededor del eje x como se muestra a continuación. La altura \( h = b - a \).
Rotando un disco (rojo) de radio \( y \) y por lo tanto de área \( \pi y^2 \) y grosor \( \Delta x \), el volumen \( V \) del tronco de cono se puede escribir como
\[ V = \int_a^b \pi y^2 dx \quad (I) \]
La pendiente \( m \) está dada por
\[ m = \dfrac{R - r}{h} \]
donde \( h \) es la altura del tronco de cono dada por
\[ h = b - a \]
Sustituye \( y \) por \( mx \) en (I) y escribe
\[ V = \displaystyle m^2 \pi \int_a^b x^2 dx \]
Evalúa la integral
\[ V = m^2 \pi \left[\dfrac{1}{3} x^3 \right]_a^b \]
\[ \qquad = \dfrac{1}{3} m^2 \pi (b^3 - a^3) \quad (II) \]
Observa que
\[ r = m \; a \] y \[ R = m \; b \]
Por lo tanto
\[ a = \dfrac{r}{m} \] y \[ b = \dfrac{R}{m} \]
Sustituye en (II)
\[ \qquad V = \dfrac{1}{3} m^2 \pi \left(\left(\dfrac{R}{m}\right)^3 - \left(\dfrac{r}{m}\right)^3\right) \]
Simplifica
\[ V = \dfrac{1}{3 \; m} \pi \left(R^3 - r^3\right) \]
Sustituye \( m \) por \( \dfrac{R - r}{h} \) en lo anterior y reescribe como
\[ V = \dfrac{ \pi h}{3} \dfrac{ \left(R^3 - r^3\right)}{R-r} \quad (III) \]
Observa que usando la división de polinomios en dos variables, \( \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R-r} \) se puede simplificar como
\[ \dfrac{\left(R^3 - r^3\right)}{R-r} = R^2 + r R + r^2 \]
Ahora sustituimos lo anterior en (III) para obtener la fórmula final para el volumen del tronco de cono
\[ \boxed {V = \dfrac{\pi h}{3} \left( R^2 + r R + r^2 \right) } \]
