¿Cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región delimitada por la gráfica de una función alrededor de uno de los ejes utilizando integrales definidas? Presentaremos ejemplos basados en los métodos de discos y arandelas donde la integración es paralela al eje de rotación. Se presentan una serie de ejercicios con respuestas al final.
Fórmulas para calcular el volumen generado al girar gráficas de funciones alrededor de uno de los ejes
Fórmula 1 - Disco alrededor del eje x
Si \( f \) es una función tal que \( f(x) \geq 0 \) para todo \( x \) en el intervalo \([x_1 , x_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje x, la región delimitada por la gráfica de \( f \), el eje x (\( y = 0 \)) y las líneas verticales \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) se da por la integral
\[ \int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - 0^2 ] \, dx \]
Figura 1. volumen de un sólido de revolución generado al girar un triángulo alrededor del eje x
Fórmula 2 - Arandela alrededor del eje x
Si \( f \) y \( h \) son funciones tal que \( f(x) \geq h(x) \) para todo \( x \) en el intervalo \([x_1 , x_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje x, la región delimitada por las gráficas de \( f \) y \( h \), entre \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \), se da por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx}
\]
Figura 2. volumen de un sólido de revolución generado al girar dos curvas alrededor del eje x
Fórmula 3 - Disco alrededor del eje y
Si \( z \) es una función de \( y \) tal que \( x = z(y) \) y \( z(y) \geq 0 \) para todo \( y \) en el intervalo \([y_1 , y_2]\), el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje y, la región delimitada por la gráfica de \( z \), el eje y (\( x = 0 \)) y las líneas horizontales \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \) se da por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi ( z(y) )^2 \, dy}
\]
Figura 3. volumen de un sólido de revolución generado al girar una curva alrededor del eje y
Fórmula 4 - Arandela alrededor del eje y
Si \( z \) y \( w \) son funciones de \( y \) tal que \( z(y) \geq w(y) \) para todo \( y \) en el intervalo \([ y_1 , y_2 ]\), el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por las gráficas de \( z \) y \( w \), entre \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \), alrededor del eje y, se da por la integral
\[
\large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi [ z(y)^2 - w(y)^2 ] \, dy}
\]
Figura 4. volumen de un sólido de revolución generado al girar dos curvas alrededor del eje y
Ejemplos para Encontrar el Volumen de un Sólido de Revolución Usando Integrales Definidas
Ejemplo 1
Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por la gráfica de \( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( x = 2 \).(ver figura abajo).
Figura 5. volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de y = x alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 1
Presentamos dos métodos
Método 1 Este problema puede resolverse usando la fórmula para el volumen de un cono circular recto.
\[
volumen = \dfrac{1}{3} \pi \text{(radio)}^2 \text{altura}
\]
\[ = \dfrac{1}{3} \pi (2)^2 2 \]
\[ = \dfrac{8\pi}{3} \]
Método 2
Ahora usamos integrales definidas para encontrar el volumen definido arriba. Si dejamos \( f(x) = x \) según la fórmula 1 arriba, el volumen se da por la integral definida
\[
Volumen = \int_{0}^{2} \pi x^2 dx = \left [\pi \dfrac{x^3}{3} \right ]_0^2 = \dfrac{8\pi}{3}
\]
El primer método funciona porque \( y = x \) es una función lineal y el volumen generado es el de un cono circular recto, sin embargo, el segundo método funciona para formas distintas a los conos y se usará en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 2
Encuentra el volumen del sólido generado al girar el semicírculo \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) alrededor del eje x, donde \( r > 0 \).
Solución al Ejemplo 2
Figura 6. volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de un semicírculo alrededor del eje x
La gráfica de \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) se muestra arriba y \( y \geq 0 \) de \( x = -r \) a \( x = r \). El volumen se da por la fórmula 1 como sigue
\[
Volumen = \int_{-r}^{r} \pi (\sqrt{r^2 - x^2})^2 dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx \]
\[ = \pi\left [r^2 x - \dfrac{x^3}{3} \right ]_{-r}^r \]
\[ = \pi\left [ (r^3 - \dfrac{r^3}{3}) - (-r^3 + \dfrac{r^3}{3}) \right ] \]
\[ = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \]
Esta es la conocida fórmula para el volumen de la esfera. Si se gira un semicírculo de radio \( r \) alrededor del eje x, generará una esfera de radio \( r \).
Ejemplo 3
Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región sombreada (roja) alrededor del eje y.
Figura 7. volumen de un sólido de revolución generado por un triángulo alrededor del eje y
Solución al Ejemplo 3
La región sombreada (roja) está delimitada por el eje x, la recta que pasa por los puntos (0,0) y (1,1) y tiene la ecuación \( y = x \), y la recta que pasa por los puntos (1,1) y (2,0) y tiene la ecuación \( y = -x + 2 \). Dado que el sólido está generado al girar a través del eje y, usaremos la fórmula 4 dada arriba para encontrar el volumen de la siguiente manera. Los límites de integración son \( y = 0 \) y \( y = 1 \)
\[
Volumen = \int_{0}^{1} \pi [ (-y+2)^2 - y^2] \, dy \]
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ - 4 y + 4] \, dy \\ = \pi \left [-2y^2+4y \right ]_0^1 = 2\pi \]
Ejemplo 4
Encuentra el volumen del sólido generado por la rotación de las curvas \( y = 1 + x^2 \) y \( y = \sqrt{x} \), alrededor del eje x y limitado a la izquierda por \( x = 0 \) y a la derecha por \( x = 2 \).
Figura 8. volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de las curvas y = 1 + x^2 y y = √x, alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 4
Ahora usamos la fórmula 2 dada arriba, arandelas con integración a lo largo del eje x. Los límites de integración son \( x = 0 \) y \( x = 2 \). Dejemos \( f(x) = 1 + x^2 \) y \( h(x) = \sqrt{x} \)
\[
Volumen = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{2} \pi ( (1+x^2)^2 - (\sqrt x)^2 ) \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1+x^4+2x^2 - x ) \, dx \]
\[ = \pi \left [ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + x \right]_0^2 \]
\[ = \dfrac{176\pi}{15} \]
Ejemplo 5
Encuentra el volumen del toro generado cuando el círculo con centro en \( (0,R) \) y radio \( r \) se gira alrededor del eje x.
Figura 9. Torus generado cuando el círculo con centro en (0,R) y radio r se gira alrededor del eje x
Solución al Ejemplo 5
La ecuación del círculo se da por
\[ x^2 + (y - R)^2 = r^2 \]
Resuelve la ecuación anterior para y para obtener dos soluciones cada una para un semicírculo
\( y = R + \sqrt{r^2 - x^2} \) , semicírculo superior , y \( y = R - \sqrt{r^2 - x^2} \) , semicírculo inferior
El toro es generado al girar los dos semicírculos alrededor del eje x, por lo tanto, usamos la fórmula 2 dada arriba para encontrar el volumen del toro. Dejemos \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \) y \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \). Debido a la simetría del círculo y, por lo tanto, del toro con respecto al eje y, integramos desde \( x = 0 \) hasta \( x = r \) y luego duplicamos la respuesta para encontrar el volumen total.
\[
Volumen = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{r} [ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} [ \sqrt{r^2 - x^2} ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi (\dfrac{1}{2}) \left [ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arctan(\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}) \right ]_0^r \]
\[ = 4 R \pi ( \pi r^2 / 4) \]
\[ = {\pi}^2 R r^2\]
El volumen total es el doble del anterior, por lo tanto, el volumen de un toro es dado por
\[
Volumen = 2 {\pi}^2 R r^2
\]
Ejercicios
(1) Encuentra el volumen del sólido generado cuando la región entre las gráficas de \( f(x) = x^2 + 2 \) y \( h(x) = x \) se gira sobre el eje x y sobre el intervalo \( [0,1] \).
(2) Encuentra el volumen generado cuando la región finita delimitada por las curvas \( y = x^3 \), \( y = x^2 \) se gira alrededor del eje y.(pista: necesitas encontrar los puntos de intersección de las dos curvas)
