Encuentra el volumen de un sólido de revolución generado al girar una región delimitada por la gráfica de una función alrededor de uno de los ejes utilizando integrales definidas y el método de cilindros, donde la integración es perpendicular al eje de rotación. Ejercicios con sus respuestas se presentan al final de la página.
Fórmula - Método de Cilindros
Si \( f \) es una función tal que \( f(x) \ge 0 \) (ver gráfica a la izquierda abajo) para
todos \( x \) en el intervalo [ \( x_1 \), \( x_2 \) ], el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \( y \), la región delimitada por la
gráfica de \( f \), el eje \( x \) (\( y = 0 \)) y las líneas verticales \( x = x_1 \) y \( x = x_2 \) está dado por la integral
Figura 1. volumen de un sólido de revolución usando el método de cilindros
Si \( g \) es una función tal que \( g(y) \ge 0 \) para
todos \( y \) en el intervalo [ \( y_1 \), \( y_2 \) ], el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje \( x \), la región delimitada por la
gráfica de \( g \), el eje \( y \) (\( x = 0 \)) y las líneas horizontales \( y = y_1 \) y \( y = y_2 \) está dado por la integral
\[
\Large {\text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} 2\pi \; y \; g(y) \; dy}}
\]
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Usa el método de cilindros para encontrar el volumen del sólido generado al girar la región sombreada (triángulo) alrededor del eje \( y \).
Figura 2. volumen de un sólido de revolución generado por un triángulo alrededor del eje y
Solución al Ejemplo 1
Nota que este problema ha sido resuelto en Volumen de un Sólido de Revolución usando el método de las arandelas. Ahora lo resolveremos usando el método de cilindros y podrás comparar los dos métodos.
La forma a rotar está limitada por \( x = 0 \), \( y = 0 \) y dos curvas \( y = x \) y \( y = - x + 2 \) con un punto de intersección en (1,1), por lo que necesitamos dividir la integral para encontrar el volumen en dos partes de la siguiente manera:
\[\text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) dx \]
Dividir el intervalo de integración
\[ = \int_{0}^{1} 2\pi x (x) dx + \int_{1}^{2} 2\pi x (-x + 2) dx \]
Integrar
\[ = 2\pi \left[x^3/3\right]_0^1 + 2\pi\left[-x^3/3 + x^2\right]_1^2 \]
Evaluar
\[ = 2\pi/3 + 2\pi \left[-8/3+4 -(-1/3+1) \right] \]
Simplificar
\[ = 2\pi/3 + 2\pi \left[4/3 - 2/3 \right] \]
\[ = 2\pi/3 + 4\pi/3 = 2\pi \]
Ejemplo 2
Usa el método de cilindros para encontrar el volumen del sólido generado al girar el área encerrada por \( y = - x
^3 + 2 x^2 - x + 2 \) y \( y = -x + 1 \) en el primer cuadrante.
Solución al Ejemplo 2
Las gráficas de \( y = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) y \( y = -x + 1 \) se muestran a continuación. Ambas gráficas tienen intersecciones en \( x \) calculadas resolviendo las ecuaciones \( y = 0 \).
La intersección de \( x \) de \( y = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) se encuentra resolviendo
\[ - x^3 + 2 x^2 - x + 2 = 0 \]
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación anterior
\[ x^2(- x + 2) +(- x + 2) = 0 \]
\[ (- x + 2) (1 + x^2) = 0 \]
\( - x + 2 = 0 \) da la intersección de \( x \) en \( x = 2 \) como se muestra en la gráfica anterior.
\( 1 + x^2 = 0 \) no tiene soluciones reales
La intersección de \( x \) de \( y = - x + 1 \) se encuentra resolviendo la ecuación:
\[ - x + 1 = 0 \]
cuya solución es \( x = 1 \) como se muestra en la gráfica anterior.
Figura 3. volumen de un sólido de revolución generado por una curva cúbica alrededor del eje y
Observa que de \( x = 0 \) a \( x = 1 \), la parte superior de la región está limitada por \( y = f(x) = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) y la parte inferior está limitada por \( y = h(x) = - x + 1 \)
El volumen \( V_1 \) de \( x = 0 \) a \( x = 1 \) está dado por
\[
V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) dx \]
\[ = 2\pi \int_{0}^{1} x (- x^3 + 2 x^2 - x + 2 - (-x+1)) dx \]
\[ = 2\pi \int_{0}^{1} (- x^4 + 2 x^3 + x) dx \]
\[ = 2\pi \left[ - x^5/5 + 2 x^4/4 + x^2/2 \right]_0^1 = 8\pi / 5\]
De \( x = 1 \) a \( x = 2 \), la parte superior de la región está limitada por \( y = f(x) = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) y la parte inferior está limitada por \( y = 0 \), por lo tanto, el volumen \( V_2 \) está dado por
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) dx \]
\[ = 2\pi \int_{1}^{2} x (- x^3 + 2 x^2 - x + 2) dx \]
\[ = 2\pi \int_{1}^{2} (- x^4 + 2 x^3 - x^2 + 2 x) dx \]
\[ 2\pi \left[ - x^5/5 + 2 x^4/4 - x^3/3 + 2 x^2/2 \right]_1^2 = 59\pi/15\]
El volumen total \( V \) es la suma de los dos volúmenes encontrados anteriormente
\[
V = V_1 + V_2 = 8\pi / 5 + 59\pi/15 = 83 \pi / 15
\]
Ejemplo 3
Encuentra una fórmula para el volumen del sólido generado al girar el área encerrada por \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( y = a + \sin(x) \) para \( 0 \leq x \leq 2\pi \) y \( a \geq 1 \) alrededor del eje \( y \).
Solución al Ejemplo 3
Figura 4. volumen de un sólido de revolución generado por una curva seno alrededor del eje y
El volumen del sólido de revolución descrito en este ejemplo está dado por
\[
V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x ( a + \sin(x) ) dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} a x dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin (x) dx
\]
Calcula las dos integrales por separado
\[
I_1 = 2\pi a \int_{0}^{2\pi} x dx =
2\pi a \left [ x^2/2 \right ]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a
\]
\[
I_2 = 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) dx
\]
Deja \( U = x \) y \( V' = \sin(x) \) y usa integración por partes para obtener
\[
I_2 = 2\pi[ - x \cos(x)]_{0}^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) dx \]
\[ = 2\pi\left[ - x \cos(x)\right]_{0}^{2\pi} +2\pi[ \sin(x) ]_{0}^{2\pi} = -4\pi^2 \]
El volumen total \( V \) es igual a
\[
V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a -4\pi^2 \]
Ejemplo 4
Usa el método de cilindros para encontrar una fórmula para el volumen del sólido generado al girar el área encerrada por \( y = 0 \), \( x = 0 \) y \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) en el primer cuadrante alrededor del eje \( x \) (\( a \) y \( b \) ambos positivos, )
Solución al Ejemplo 4
Primero resolvemos para \( x \) para encontrar la ecuación de la curva \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) en el primer cuadrante (\( x > 0 \) y \( y > 0 \))
\( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \)
La rotación es alrededor del eje \( x \) por lo que los cilindros son paralelos al eje \( x \) y el volumen \( V \) está dado por
Figura 5. volumen de un sólido de revolución generado por un cuarto de una elipse alrededor del eje x
\[
V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{ 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy
\]
Usamos la sustitución \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \) que da \( \dfrac{du}{dy} = -\dfrac{2 y}{b^2} \), \( u = 1 \) cuando \( y = 0 \) y \( u = 0 \) cuando \( y = b \), por lo tanto después de la sustitución \( V \) está dado por
\[ V = 2\pi a \left( -\dfrac{b^2}{2} \right) \int_{1}^{0} u^{\dfrac{1}{2}} du \]
\[ = - \pi a b^2 \left( \dfrac{2}{3} \right) u^{\dfrac{3}{2}} \Bigg|_{1}^{0} \]
\[ = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]
Ejercicios
(1) Encuentra el volumen del sólido generado cuando parte de la gráfica de \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) en el cuadrante (I) se revuelve alrededor del eje \( y \) . (Pista: grafica \( f \) y encuentra las intersecciones \( x \) e \( y \))
