La concavidad de las funciones puede determinarse usando el signo de la segunda derivada. Para una función cuadrática f de la forma
f(x) = a x 2 + b x + c , con a distinto de 0
Las primeras y segundas derivadas están dadas por
f '(x) = 2 a x + b
f "(x) = 2 a
El signo de f " depende del signo del coeficiente a incluido en la definición de la función cuadrática. Dos casos son posibles. Si a es positivo entonces f " es positiva y el gráfico de f es cóncavo hacia arriba. Si a es negativo entonces el gráfico de f es cóncavo hacia abajo. A continuación se muestran algunos ejemplos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1
¿Cuál es la concavidad de la siguiente función cuadrática?
f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3
Solución al Ejemplo 1
Expanda f(x) y réescriba como sigue
f(x) = -x 2 + 5x -3
El coeficiente principal a es negativo y por lo tanto el gráfico de es cóncavo hacia abajo. ver figura abajo.
Ejemplo 2
¿Cuál es la concavidad de la siguiente función cuadrática?
f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x 2
Solución al Ejemplo 2
Expanda f(x) como sigue
f(x) = x 2 + 6 x - 4
El coeficiente principal a es positivo y por lo tanto el gráfico de es cóncavo hacia arriba. ver figura abajo.
Ejercicios con Respuestas
Determina la concavidad de cada función cuadrática.
a) f(x) = 2x 3 + 6 x - 13
b) f(x) = (2 - x)(4 - x)
c) f(x) = -2(x - 3) 2 - 5
d) f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3) 2
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
a) cóncavo hacia arriba
b) cóncavo hacia arriba
c) cóncavo hacia abajo
d) cóncavo hacia abajo
