Se introduce la definición de la concavidad de una gráfica junto con los puntos de inflexión. Se utilizan ejemplos, con soluciones detalladas, para aclarar el concepto de concavidad.
Ejemplo 1: Concavidad hacia Arriba
Consideremos la gráfica a continuación. Observa que la pendiente de la recta tangente (primera derivada) aumenta. La gráfica en la figura siguiente se llama concava hacia arriba.
Figura 1
Ejemplo 2: Concavidad hacia Abajo
La pendiente de la recta tangente (primera derivada) disminuye en la gráfica a continuación. Llamamos a la gráfica siguiente concava hacia abajo.
Figura 2
Definición de Concavidad
Sea \( f' \) la primera derivada de la función \( f \) que es diferenciable en un intervalo dado \( I \), la gráfica de \( f \) es
(i) concava hacia arriba en el intervalo \( I \), si \( f' \) es creciente en \( I \),
o
(ii) concava hacia abajo en el intervalo \( I \), si \( f' \) es decreciente en \( I \).
El signo de la segunda derivada nos informa cuándo \( f' \) es creciente o decreciente.
Teorema
Sea \( f'' \) la segunda derivada de la función \( f \) en un intervalo dado \( I \), la gráfica de \( f \) es
(i) concava hacia arriba en \( I \) si \( f''(x) > 0 \) en el intervalo \( I \).
(ii) concava hacia abajo en \( I \) si \( f''(x) < 0 \) en el intervalo \( I \).
Definición de Punto de Inflexión
Un punto \( P \) en la gráfica de \( y = f(x) \) es un punto de inflexión si \( f \) es continua en \( P \) y la concavidad de la gráfica cambia en \( P \). Según el teorema anterior, hay un punto de inflexión siempre que la segunda derivada cambie de signo.
Ejemplo 3
Determina los valores del coeficiente principal \( a \) para los cuales la gráfica de la función \( f(x) = a x^2 + b x + c \) es concava hacia arriba o hacia abajo.
Solución al Ejemplo 3
Primero encontramos las dos primeras derivadas de la función \( f \).
\( f'(x) = 2ax + b \)
\( f''(x) = 2a \)
Ahora estudiamos el signo de \( f''(x) \) que es igual a \( 2a \). Si \( a \) es positivo, \( f''(x) \) es positivo en el intervalo \((-8 , + 8)\). Según el teorema anterior, la gráfica de \( f \) será concava hacia arriba para valores positivos de \( a \).
Si \( a \) es negativo, la gráfica de \( f \) será concava hacia abajo en el intervalo \((-8 , + 8)\) ya que \( f''(x) = 2a \) es negativo.
Se muestran las gráficas de dos funciones cuadráticas a continuación: \( y = 2x^2 - 2x - 1 \) cuya gráf
ica es concava hacia arriba porque su coeficiente principal (\( a = 2 \)) es positivo y \( y = -x^2 + 3x + 1 \) cuya gráfica es concava hacia abajo porque su coeficiente principal (\( a = -1 \)) es negativo.
Ejemplo 4
a) Encuentra los intervalos en los cuales la gráfica de \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x \) es concava hacia arriba, concava hacia abajo y el o los puntos de inflexión si los hay.
b) Usa una calculadora gráfica para graficar \( f \) y confirmar tus respuestas a la parte a).
Solución al Ejemplo 4
Encontremos las dos primeras derivadas de la función \( f \).
a)
\( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1 \)
\( f''(x) = 12x^2 - 12x \)
Encontrar los ceros de \( f''(x) \).
\( 12x^2 - 12x = 0 \)
\( 12x(x - 1) = 0 \)
Dos ceros
\( x = 0 \) y \( x = 1 \)
Estudiar el signo de \( f'' \)
Los dos ceros dividen el conjunto de números reales en tres intervalos. Selecciona un valor para \( x \) en cada uno de los tres intervalos y encuentra el signo de \( f'' \)
Ahora usamos la tabla de signo y el teorema anterior para concluir que
en el intervalo \((-8 , 0)\); \( f'' \) es positivo y por lo tanto la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba
en el intervalo \( (0 , 1) \); \( f'' \) es negativo y por lo tanto la gráfica de \( f \) es concava hacia abajo
en el intervalo \( (1 , +8) \); \( f'' \) es positivo y por lo tanto la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba
La segunda derivada \( f'' \) cambia de signo en \( x = 0 \) y \( x = 1 \) y por lo tanto la gráfica de \( f \) tiene dos puntos de inflexión: \( (0 , f(0)) \) y \( (1 , f(1)) \)
b)
La gráfica de \( f \) (azul) y \( f'' \) (rojo) se muestran a continuación. Se puede ver fácilmente que siempre que \( f'' \) es negativo (su gráfica está por debajo del eje x), la gráfica de \( f \) es concava hacia abajo y siempre que \( f'' \) es positivo (su gráfica está por encima del eje x) la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba.
El punto \( (0,0) \) es un punto de inflexión donde la concavidad cambia de arriba hacia abajo a medida que \( x \) aumenta (de izquierda a derecha) y el punto \( (1,0) \) también es un punto de inflexión donde la concavidad cambia de abajo hacia arriba a medida que \( x \) aumenta (de izquierda a derecha).
Ejemplo 5
La gráfica de la segunda derivada \( f'' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Encuentra los intervalos donde \( f \) es concava hacia arriba, concava hacia abajo y el o los puntos de inflexión si los hay.
Solución al Ejemplo 5
Según la gráfica de \( f'' \), el signo de \( f'' \) se da en los siguientes intervalos
a)
En el intervalo \((-\infty , 2)\), la gráfica de \( f'' \) está por debajo del eje x y por lo tanto \( f'' \) es negativo, por lo tanto \( f \) es concava hacia abajo en el intervalo \((-\infty , 2)\)
En el intervalo \( (2 , +\infty) \), la gráfica de \( f'' \) está por encima del eje x y por lo tanto \( f'' \) es positivo, por lo tanto \( f \) es concava hacia arriba en el intervalo \( (2 , +\infty) \)
En \( x = 2 \), el signo de \( f'' \) cambia y
por lo tanto \( x = 2 \) es un punto de inflexión.
Ejemplo 6
La gráfica de la primera derivada \( f' \) de la función \( f \) se muestra a continuación. Encuentra los intervalos donde la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba, concava hacia abajo y el o los puntos de inflexión si los hay.
Solución al Ejemplo 6
Usamos la gráfica de la primera derivada \( f' \) para encontrar el signo de la segunda derivada y deducir la concavidad de la gráfica de \( f \)
a)
En el intervalo \((-\infty , -2)\), \( f' \) disminuye y por lo tanto \( f'' \) es negativo; la gráfica de \( f \) es concava hacia abajo
En el intervalo \( (-2 , -1) \), \( f' \) aumenta y por lo tanto \( f'' \) es positivo; la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba
En el intervalo \( (-1 , 1) \), \( f' \) disminuye y por lo tanto \( f'' \) es negativo; la gráfica de \( f \) es concava hacia abajo
En el intervalo \( (1 , +\infty) \), \( f' \) aumenta y por lo tanto \( f'' \) es positivo; la gráfica de \( f \) es concava hacia arriba
La concavidad de la gráfica de \( f \) cambia en \( x = -2 \), \( x = -1 \) y \( x = 1 \) y por lo tanto estos son todos puntos de inflexión.
