Método de Newton para Encontrar Ceros de una Función
El método de Newton es un ejemplo de cómo se utiliza la primera derivada para encontrar ceros de funciones y resolver ecuaciones numéricamente. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo utilizar el método de Newton.
Se puede usar un calculadora del método de Newton en línea
para verificar los resultados.
\( \)\( \)\( \)\( \)
Método de Newton
El método de Newton o método de Newton-Raphson es un procedimiento utilizado para generar aproximaciones sucesivas al cero de una función \( f \) de la siguiente manera:
\[ x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
para \( n = 0,1,2,3,...\)
Para utilizar el método de Newton, primero debe hacer una suposición inicial para el cero de la función y luego usar el procedimiento anterior. A continuación, le mostramos cómo utilizar este método para encontrar buenas aproximaciones al cero de una función o solución de una ecuación.
El método de Newton se puede programar fácilmente, utilizando casi cualquier lenguaje de programación con funciones matemáticas, para resolver ecuaciones complicadas numéricamente.
Ejemplo 1
Utilice el método de Newton para aproximar el mayor cero de la función \( f \) dada por
\[ f(x) = x^2 + 3x + 1 \]
Solución del Ejemplo 1
La función dada es cuadrática y podemos encontrar fácilmente sus ceros utilizando las fórmulas cuadráticas. Sin embargo, comenzamos con este ejemplo para poder comparar el cero encontrado usando el método de Newton con el que se encuentra usando las fórmulas cuadráticas.
¿Cómo usar el método de Newton para encontrar el mayor cero de \( f \)?
Primero, necesitamos encontrar una aproximación cercana al cero. Esto se puede hacer gráficamente. El gráfico de \( f \) a continuación muestra claramente que \( f \) tiene dos ceros, ambos negativos y el mayor está más cerca de cero. Podemos usar cero como valor inicial en el procedimiento del método de Newton.
Ahora calculamos la primera derivada \( f' \)
\[ f '(x) = 2 x + 3 \]
Ahora comenzamos el procedimiento de la siguiente manera:
Sea \( x_0 = 0 \). Este es el valor aproximado inicial para el mayor cero. Puede decidir tomar otro valor siempre que esté cerca del cero que está aproximando.
Ahora calculamos \( x_1 \) usando el procedimiento anterior para \( n = 0 \) de la siguiente manera:
\[ x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \]
Sustituimos \( x_0 \) por su valor 0 y calculamos \( x_1 \)
\( x_1 = 0 - \dfrac{f(0)}{f '(0)} \)
Sustituir
\( x_1 = 0 - \dfrac{(0)^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} \)
Simplificar
\( x_1 = -1/3 \)
Ahora calculamos \( x_2 \) de la siguiente manera
\[ x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f '(x_1)} \]
Sustituimos y simplificamos
\( x_2 = -1/3 - \dfrac{f(-1/3)}{f '(-1/3)} \approx -0.38095238 \)
Ahora calculamos \( x_3 \) de la siguiente manera
\[ x_3 = x_2 -\dfrac{f(x_2)}{f '(x_2)} \]
Sustituimos y aproximamos
\( x_3 \approx -0.38196555 \)
Continuamos con el procedimiento para encontrar
\( x_4 \approx -0.38196601 \)
\( x_5 \approx -0.38196601 \)
Dado que \( x_5 \) y \( x_4 \) están muy cerca, no hay necesidad de continuar ya que no podremos hacer más progreso en la aproximación del cero.
Nota que los ceros de \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \) se pueden encontrar analíticamente al resolver la ecuación \( x^2 + 3x + 1 = 0 \).
Usando fórmulas cuadráticas, obtenemos dos ceros reales:
Ahora comparamos \( x_5 \) con el valor exacto del mayor de los dos ceros que es \( z_2 = \dfrac{-3 + \sqrt 5}{2} \approx -0.38196601125... \) y podemos decir que son iguales hasta 8 lugares decimales. Otra forma de verificar la precisión de nuestra aproximación es calcular
\( f(x_5) \approx 2.8 \; 10^{-9} \)
Como \( f(x_5) \) está muy cerca de cero, \( x_5 \approx -0.38196601 \) es un buen valor aproximado a uno de los ceros de \( f(x) \).
Nota: Comenzamos con el ejemplo 1 donde los ceros se obtuvieron utilizando métodos analíticos y eso fue solo para comparación. El método de Newton se usa principalmente para resolver ecuaciones sin soluciones analíticas, como veremos en los ejemplos 2 y 3.
Ejemplo 2
Use el método de Newton para resolver la siguiente ecuación
\[ e^{x-3} = - x + 2 \]
Solución del Ejemplo 2
Tenga en cuenta que la solución de la ecuación anterior no se puede encontrar analíticamente, de ahí el uso del método de Newton.
Primero escribimos la ecuación con el lado derecho igual a cero.
\( e^{x-3} + x - 2 = 0 \)
La solución a la ecuación dada es igual al cero de la función \( f(x) = e^{x-3} + x - 2\).
Calcule la primera derivada \( f ' \).
\[ f '(x) = e^{x-3} + 1 \]
A continuación se muestra el gráfico de \( f \) y se puede ver fácilmente que el cero de \( f \) está más cerca de \( 2 \) por lo que se elige \( x_0 = 2 \) como el valor inicial.
Sea \( x_0 = 2\) y calcule \( x_1 \)
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
Sustituimos
\( x_1 = 2 - \dfrac{e^{2 - 3} + 2 - 2}{e^{2 - 3} + 1} \)
Use una calculadora y aproxime
\( x_1 \approx 1.73105857... \)
Ahora continuamos el proceso para calcular más valores que aproximen el cero de \( f \).
\( x_2 = 1.72154537... \)
\( x_3 = 1.72153545... \)
\( x_4 = 1.72153545... \)
Ahora que \( x_4 \) y \( x_3 \) son iguales hasta 8 lugares decimales y hemos alcanzado el límite de precisión de nuestra calculadora. Como verificación final, calculemos
\[ f(x_4) \approx -9.3 \; 10^{-9} \]
y también calculemos los lados izquierdo y derecho de la ecuación dada \( e^{x-3} = - x + 2 \) en \( x_4 \) para mostrar que están muy cerca.
Lado izquierdo: \( \quad e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540... \)
Lado derecho: \( \quad - x_4 + 2 \approx 0.278464550... \)
Podemos decir que \( x_4 = 1.72153545 \) es una buena aproximación a la solución de la ecuación dada.
Ejemplo 3
Utilice el método de Newton para aproximar \( \sqrt[3] 5 \).
Solución del Ejemplo 3
\( \sqrt[3] 5 \) es la solución de la ecuación
\( x = \sqrt[3] 5 \)
Eleve ambos lados de la ecuación a la potencia 3 para obtener la ecuación
\( x^3 = 5 \)
que se puede escribir
\( f(x) = x^3 - 5 = 0 \)
El gráfico de \( f \) a continuación muestra que hay un cero cerca de \( 2 \) y podemos usarlo como valor inicial.
La primera derivada de \( f \) está dada por
\( f '(x) = 3 x^2 \)
Ahora dejemos \( x_0 = 2 \) y calculemos \( x_1 \)
\( x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f '(x_0)} \)
Sustituimos y calculamos
\( x_1 = 2 - \dfrac{f(2)}{f '(2)} = 2 - \dfrac{2^3-5}{3 \; 2^2} = 1.75 \)
Calculemos más valores que aproximen el cero de \( f \).
\( x_2 = 1.71088435... \)
\( x_3 = 1.70997642... \)
\( x_4 = 1.70997594... \)
\( x_5 = 1.70997594... \)
\( 1.70997594 \) es una buena aproximación a \( \sqrt[3] 5 \). Utilice su calculadora para calcular \( \sqrt[3] 5 \) y compare el resultado del cálculo con el obtenido usando el método de Newton arriba.
