Preguntas con respuestas sobre la continuidad de funciones con énfasis en funciones racionales y a trozos. Se discute la continuidad de una función y su derivada en un punto dado. También se incluyen el significado gráfico y la interpretación de la continuidad.
Solución al Ejemplo 1
a) Para \( x = 0 \), el denominador de la función \( f(x) \) es igual a \( 0 \) y \( f(x) \) no está definida y no tiene límite en \( x = 0 \). Por lo tanto, la función \( f(x) \) es discontinua en \( x = 0 \).
b) Para \( x = 2 \), el denominador de la función \( g(x) \) es igual a 0 y la función \( g(x) \) no está definida en \( x = 2 \) y no tiene límite. La función \( g(x) \) no es continua en \( x = 2 \).
c) El denominador de la función \( h(x) \) se puede factorizar de la siguiente manera: \( x^2 -1 = (x - 1)(x + 1) \). El denominador es igual a 0 para \( x = 1 \) y \( x = -1 \), valores para los cuales la función no está definida y no tiene límites. La función \( h \) es discontinua en \( x = 1 \) y \( x = -1 \).
d) \( \tan(x) \) no está definida para todos los valores de \( x \) tales que \( x = \frac{\pi}{2} + k \pi , \) donde \( k \) es cualquier número entero (\( k = 0, -1, 1, -2, 2,...) \) y, por lo tanto, es discontinua para estos mismos valores de \( x \).
e) El denominador de la función \( j(x) \) es igual a 0 para \( x \) tal que \( \cos(x) - 1 = 0 \) o \( x = k (2 \pi) \), donde \( k \) es cualquier número entero y, por lo tanto, esta función no está definida y es discontinua para todos estos mismos valores de \( x \).
f) La función \( k(x) \) está definida como la razón de dos funciones continuas (con el denominador \( x^2 + 5 \) nunca igual a 0), está definida para todos los valores reales de \( x \) y, por lo tanto, no tiene ningún punto de discontinuidad.
g) \( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \) para \( x \ne - 4 \).
\( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \).
La función \( l(x) \) es continua para todos los valores reales de \( x \) y, por lo tanto, no tiene ningún punto de discontinuidad.
Solución al Ejemplo 2
Para \( x > -1 \), \( f(x) = 2 x^ 2 + b \) es una función polinómica y, por lo tanto, continua.
Para \( x \lt -1 \), \( f(x) = -x^3 \) es una función polinómica y, por lo tanto, continua.
Para \( x = -1 \)
\[ f(-1) = 2(-1)^ 2 + b = 2 + b \]
Consideremos los límites laterales:
\[ L1 = \lim_{x\to -1^-} f(x) = -(-1)^3 = 1 \]
\[ L2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]
Para que la función \( f \) sea continua, necesitamos tener:
\[ L2 = L1 \]
o \[ 2 + b = 1 \]
Resuelve para \( b \) para obtener:
\[ b = -1 \]
Sustituye \( b \) por -1 en la función dada para obtener:
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x \lt -1 \\ \end{cases} \]
La gráfica de \( f \) se muestra a continuación y es claro que la función es continua en \( x = -1 \).
Solución al Ejemplo 3
Continuidad de la función \( g \)
Para \( x > 2 \), \( g(x) = a x^ 2 + b \) es una función polinómica y, por lo tanto, continua.
Para \( x < 2 \), \( g(x) = -2 x + 2 \) es una función polinómica y, por lo tanto, continua.
Sea:
\[ L1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a (2)^2 + b = 4 a + b \]
\[ L2 = \lim_{x\to 2^-} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]
Para la continuidad de \( g \) en \( x = 2 \), necesitamos tener:
\[ L1 = L2 = g(2) \]
Lo que da:
\[ 4 a + b = -2 \]
Continuidad de la derivada \( g' \)
Para \( x > 2 \), \( g '(x) = 2 a x \) es una función polinómica y, por lo tanto, continua.
Para \( x \lt 2 \), \( g '(x) = -2 \) es una función constante y, por lo tanto, continua.
Sea:
\[ l1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4 a \]
\[ l2 = \lim_{x\to 2^-} g'(x) = -2 \]
Para la continuidad de \( g' \) en \( x = 2 \), necesitamos tener:
\[ l1 = l2 \] o \[ 4 a = - 2 \]
Resuelve la última ecuación para obtener: \[ a = - 1 / 2 \].
Sustituye \( a \) por \( - 1 / 2 \) en la ecuación \( 4 a + b = -2 \) obtenida arriba y resuelve para \( b \) para obtener \( b = 0 \).
Sustituye \( a \) y \( b \) por sus valores para obtener la función \( g \):
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x \lt 2 \\ \end{cases} \]
La función \( g(x) \) se grafica a continuación y es claro que tanto la función como su derivada (pendiente) son continuas en \( x = 2 \).
