Teoremas de Continuidad y sus Aplicaciones en Cálculo

Se presentan y discuten con ejemplos los teoremas relacionados con la continuidad de funciones y sus aplicaciones en cálculo.

Teorema 1

Todas las funciones polinomiales y las funciones sen x, cos x, arctan x y e^x son continuas en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).

Ejemplo: Evalúa los siguientes límites:
\(\lim_{x\to 0} \sin (x) \)
\( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
\( \lim_{x\to\ -1} \arctan(x) \)

Soluciones
Si la función \( f \) es continua en \( x = a \), entonces \( \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
Dado que \( \sin(x) \) es continua \( \lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0 \)
Dado que \( \cos(x) \) es continua \( \lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = - 1 \)
Dado que \( \arctan(x) \) es continua \( \lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = - \pi / 4 \)

Teorema 2

Si las funciones \( f \) y \( g \) son continuas en \( x = a \), entonces

A. \( (f + g) \) es continua en \( x = a \),
B. \( (f - g) \) es continua en \( x = a \),
C. \( (f \cdot g) \) es continua en \( x = a \),
D. \((f / g) \) es continua en \( x = a \) si \( g(a) \) no es igual a cero.
Si \( g(a) = 0 \) entonces \( (f / g) \) es discontinua en \( x = a \).

Ejemplo: Sean \( f(x) = \sin x \) y \( g(x) = \cos x \). ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones \( (f + g), (f - g), (f \cdot g) \) y \( (f / g) \)?

Soluciones:
Dado que tanto \( \sin x \) como \( \cos x \) son continuas en todas partes, según el teorema 2 anterior, \( (f + g), (f - g), (f \cdot g) \) son continuas en todas partes.
Sin embargo, \( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en los valores de x para los cuales el denominador g(x) es igual a cero. Estos valores se encuentran resolviendo la ecuación trigonométrica:
\( \cos x = 0 \)
Los valores que hacen \( \cos x = 0 \) están dados por:
\( x = \pi/2 + k \pi \), donde \( k \) es cualquier número entero.
\( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en \( x = \pi/2 + k \pi \), \( k \) es cualquier número entero.

Teorema 3

Una función racional es continua en todas partes excepto en los valores de \( x \) que hacen que el denominador de la función sea igual a cero.

Ejemplo: Encuentra los valores de \( x \) en los que la función \( f \) es discontinua.
\[ f(x) = \dfrac{x-2}{(2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5)} \]

Soluciones:
El denominador de f es el producto de dos términos y está dado por
\( (2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5) \)
El término \( x^4 + 5 \) es siempre positivo, por lo tanto, nunca es igual a cero. Ahora necesitamos encontrar los ceros de \( 2 x^2 + 2 x - 4 \) resolviendo la ecuación:
\( 2 x^2 + 2 x - 4 = 0 \)
Las soluciones son: \( x = 1 \) y \( x = - 2 \)
La función \( f \) es discontinua en \( x = 1 \) y \( x = - 2 \).

Teorema 4

Si

Teorema 5

Si \( g \) es una función continua en \( x = a \) y la función \( f \) es continua en \( g(a) \), entonces la función compuesta \( f \circ g \) es continua en \( x = a \).

Ejemplo: Demuestra que cualquier función de la forma \( e^{ax + b} \) es continua en todas partes, siendo \( a \) y \( b \) números reales.

La función exponencial \( f(x) = e^x \) y la función polinomial (lineal) \( g(x) = a x + b \) son continuas en todas partes. Por lo tanto, la composición \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) también es continua en todas partes.

Más Referencias y Enlaces