Teoremas de Continuidad y Sus Aplicaciones en Cálculo
Se presentan y discuten teoremas relacionados con la continuidad de funciones y sus aplicaciones en cálculo, con ejemplos y explicaciones detalladas.
Teorema 1
Todas las funciones polinomiales y las funciones sin x, cos x, arctan x y e x son continuas en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).
Ejemplo:Evaluar los siguientes límites:
\(\lim_{x\to 0} \sin (x) \)
\( \lim_{x\to\pi} \cos (x) \)
\( \lim_{x\to\ -1} \arctan(x) \)
Soluciones
Si la función \( f \) es continua en \( x = a \), entonces
\(
\lim_{x\to a} f(x) = f(a)
\)
Dado que \( \sin(x) \) es continua
\(
\lim_{x\to 0} \sin (x) = \sin(0) = 0
\)
Dado que \( \cos(x) \) es continua
\(
\lim_{x\to\pi} \cos (x) = \cos(\pi) = - 1
\)
Dado que \( \arctan(x) \) es continua
\(
\lim_{x\to -1} \arctan(x) = \arctan(-1) = - \pi / 4
\)
Teorema 2
Si las funciones \( f \) y \( g \) son continuas en \( x = a \), entonces
A. \( (f + g) \) es continua en \( x = a \),
B. \( (f - g) \) es continua en \( x = a \),
C. \( (f . g) \) es continua en \( x = a \),
D. \((f / g) \) es continua en \( x = a \) si \( g(a) \) no es igual a cero.
Si \( g(a) = 0 \) entonces \( (f / g) \) es discontinua en \( x = a \).
Ejemplo:Sea \( f(x) = \sin x \) y \( g(x) = \cos x \). ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones \( (f + g), (f - g), (f . g) \) y \( (f / g) \)?
Soluciones:
Dado que tanto \( \sin x \) como \( \cos x \) son continuas en todas partes, según el teorema 2 anterior \( (f + g), (f - g), (f . g) \) son continuas en todas partes.
Sin embargo, \( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en los valores de \( x \) para los cuales el denominador \( g(x) \) es igual a cero. Estos valores se encuentran resolviendo la ecuación trigonométrica:
\( \cos x = 0 \)
Los valores que hacen \( \cos x = 0 \) se dan por:
\( x = \pi/2 + k \pi \) , donde \( k \) es cualquier entero.
\( (f / g) \) es continua en todas partes excepto en \( x = \pi/2 + k \pi \) , \( k \) es cualquier entero.
Teorema 3
Una función racional es continua en todas partes excepto en los valores de \( x \
) que hacen que el denominador de la función sea igual a cero.
Ejemplo:Encuentra los valores de \( x \) en los que la función \( f \) es discontinua.
\[
f(x) = \dfrac{x-2}{(2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5)}
\]
Soluciones:
El denominador de \( f \) es el producto de dos términos y se da por
\(
(2 x^2 + 2 x - 4)(x^4 + 5)
\)
El término \( x^4 + 5 \) siempre es positivo, por lo tanto nunca es igual a cero. Ahora necesitamos encontrar los ceros de \( 2 x^2 + 2 x - 4 \) resolviendo la ecuación:
\(
2 x^2 + 2 x - 4 = 0
\)
Las soluciones son: \( x = 1 \) y \( x = - 2 \)
La función \( f \) es discontinua en \( x = 1 \) y \( x = - 2 \).
Teorema 4
Si
\(
\color{red}{\lim_{x\to a} g(x) = L}
\)
y si \( f \) es una función continua en \( x = L \), entonces
\[
\color{red}{\lim_{x\to\ a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to\ a} g(x)) = f(L)}
\]
Ejemplo:Evaluar el límite
\[
\lim_{x\to a} \sin(2x + 5)
\]
Solución:
\( \sin x \) es continua en todas partes y \( 2 x + 5 \) es un polinomio y también es continuo en todas partes. Por lo tanto,
\[
\lim_{x\to\ a} \sin(2x + 5) = \sin\left(\lim_{x\to\ a}(2x+5) \right) = \sin(2a + 5)
\]
Teorema 5
Si \( g \) es una función continua en \( x = a \) y la función \( f \) es continua en \( g(a) \), entonces la función compuesta \( f_o g \) es continua en \( x = a \).
Ejemplo:Mostrar que cualquier función de la forma \( e^{ax + b} \) es continua en todas partes, \( a \) y \( b \) números reales.
La función exponencial \( f(x) = e^x \) y la función polinómica (lineal) \( g(x) = a x + b \) son continuas en todas partes. Por lo tanto, la composición \( f(g(x)) = e^{ax + b} \) también es continua en todas partes.
