Uso del Teorema del Sándwich para Encontrar Límites

El teorema del sándwich, también llamado teorema del abrazo, se utiliza para encontrar límites.

Teorema del Sándwich.

Si Funciones f, g y h son funciones tales que
Desigualdades Entre Funciones f, g y h
para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contiene a a y si Condición del Teorema del Sándwich entonces,
Teorema del Sándwich

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1:

Encuentre el límite: Límite de x^2 1/cos x
Solución del Ejemplo 1:
A medida que x se aproxima a 0, 1 / x se vuelve muy grande en valor absoluto y cos(1 / x) se vuelve altamente oscilatorio.
Sin embargo, cos(1 / x) toma valores dentro del intervalo [-1,1], que es el rango de cos x, por lo tanto
Preparar Desigualdad para Aplicar Teorema del Sándwich
Multiplique todos los términos de la desigualdad anterior por x2 (x diferente de 0)
Desigualdad para Aplicar Teorema del Sándwich \( \) \( \)\( \)\( \)
La desigualdad anterior se cumple para cualquier valor de x excepto 0 donde \( x^2 \cos (1/x) \) no está definido. A medida que x se acerca a 0, tanto - x2 como x2 se aproximan a 0 y según el teorema del sándwich obtenemos \[ \lim_{x \to 0} x^2 cos(1/x) = 0 \]

Ejemplo 2:

Encuentre el límite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)

Solución del Ejemplo 2:
Suponga que \( 0 \lt x \lt \pi / 2 \) y consideremos el círculo unitario, mostrado a continuación, y un sector OAC con ángulo central x en posición estándar. A es un punto en el círculo unitario y AB es tangente al círculo en el punto A , por lo tanto, un ángulo recto en este punto.
Cálculo Geométrico del Límite de sin x/x
El punto C es un punto en el círculo unitario, radio igual a 1, y tiene coordenadas \( (\cos x, \sin x) \). Encontremos las áreas del triángulo OAC , el sector OAC y el triángulo rectángulo OAB .
Usa la fórmula seno del área de un triángulo para obtener:
área del triángulo \( OAC = (1/2) \sin x \cdot OA \cdot OC = (1/2) \sin x \cdot 1 \cdot 1 = (1/2) \sin x \)
Usa la fórmula del área de un sector para obtener:
área del sector \( OAC = (1/2)\cdot(x)\cdot OC^2 = (1/2) x \)
área del triángulo rectángulo \( OAB = (1/2) \cdot (base) \cdot (altura) = (1/2) \cdot (1) \cdot (\tan x) = (1/2) \tan x \)
Comparando, geométricamente, las tres áreas, podemos escribir la desigualdad \[ \text{área del triángulo} \; OAC \; \lt \; \text{área del sector} \; OAC \; \lt \; \text{área del triángulo} \; OAB \] Sustituye las áreas en la desigualdad anterior por sus expresiones obtenidas anteriormente. \[ (1/2)(\sin x) \lt (1/2) x \lt (1/2) \tan x \] Multiplicar todos los términos por \( \dfrac{2}{\sin x} \) da \[ 1 \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt 1 / \cos x \] Toma el recíproco y invierte los dos símbolos de desigualdad en la doble desigualdad \[ 1 \gt \dfrac{\sin x} {x} \gt \cos x \] Lo cual es equivalente a \[ \cos x \lt \dfrac{\sin x} {x} \lt 1 \] Se puede mostrar que la desigualdad anterior se cumple para \( -\pi/ 2 \lt x \lt 0 \) por lo que la desigualdad anterior se cumple para todos \( x \) excepto \( x = 0 \) donde \( \dfrac{\sin x} {x} \) no está definido. Dado que \[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \] y \[ \lim_{x \to 0} 1 = 1 \] , podemos aplicar el teorema del sándwich para obtener \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] Este resultado es muy importante y se utilizará para encontrar otros límites de funciones trigonométricas y derivadas


Más Referencias y enlaces