El teorema del sándwich, también llamado teorema del abrazo, se utiliza para encontrar límites.
Si
son funciones tales que
para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contiene a a y si
entonces,
Solución del Ejemplo 2:
Suponga que \( 0 \lt x \lt \pi / 2 \) y consideremos el círculo unitario, mostrado a continuación, y un sector OAC con ángulo central x en posición estándar. A es un punto en el círculo unitario y AB es tangente al círculo en el punto A , por lo tanto, un ángulo recto en este punto.
El punto
C es un punto en el círculo unitario, radio igual a 1, y tiene coordenadas \( (\cos x, \sin x) \). Encontremos las áreas del triángulo OAC , el sector OAC y el triángulo rectángulo OAB .
Usa la fórmula seno del área de un triángulo para obtener:
área del triángulo \( OAC = (1/2) \sin x \cdot OA \cdot OC = (1/2) \sin x \cdot 1 \cdot 1 = (1/2) \sin x \)
Usa la fórmula del área de un sector para obtener:
área del sector \( OAC = (1/2)\cdot(x)\cdot OC^2 = (1/2) x \)
área del triángulo rectángulo \( OAB = (1/2) \cdot (base) \cdot (altura) = (1/2) \cdot (1) \cdot (\tan x) = (1/2) \tan x \)
Comparando, geométricamente, las tres áreas, podemos escribir la desigualdad
\[ \text{área del triángulo} \; OAC \; \lt \; \text{área del sector} \; OAC \; \lt \; \text{área del triángulo} \; OAB \]
Sustituye las áreas en la desigualdad anterior por sus expresiones obtenidas anteriormente.
\[ (1/2)(\sin x) \lt (1/2) x \lt (1/2) \tan x \]
Multiplicar todos los términos por \( \dfrac{2}{\sin x} \) da
\[ 1 \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt 1 / \cos x \]
Toma el recíproco y invierte los dos símbolos de desigualdad en la doble desigualdad
\[ 1 \gt \dfrac{\sin x} {x} \gt \cos x \]
Lo cual es equivalente a
\[ \cos x \lt \dfrac{\sin x} {x} \lt 1 \]
Se puede mostrar que la desigualdad anterior se cumple para \( -\pi/ 2 \lt x \lt 0 \) por lo que la desigualdad anterior se cumple para todos \( x \) excepto \( x = 0 \) donde \( \dfrac{\sin x} {x} \) no está definido. Dado que
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \]
y
\[ \lim_{x \to 0} 1 = 1 \] ,
podemos aplicar el teorema del sándwich para obtener
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]
Este resultado es muy importante y se utilizará para encontrar otros límites de funciones trigonométricas y derivadas