Uso del Teorema del Encaje para Encontrar Límites

El teorema del encaje, también llamado teorema del sándwich, se utiliza para encontrar límites.

Teorema del Encaje.

Si \( f \), \( g \) y \( h \) son funciones tales que

\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]

para todos los valores de \( x \) en algún intervalo abierto que contenga \( a \), y si

\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]

entonces,

\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1:

Encuentre el límite:

\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
Solución al Ejemplo 1:

A medida que \( x \) se acerca a \( 0 \), \( 1/x \) se vuelve muy grande en valor absoluto, y \( \cos(1/x) \) se vuelve altamente oscilatorio.

Sin embargo, \( \cos(1/x) \) toma valores dentro del intervalo \([-1, 1]\), que es el rango de \( \cos x \). Por lo tanto,

\[ -1 \le \cos\left(\frac{1}{x}\right) \le 1 \]

Multiplique todos los términos de la desigualdad anterior por \( x^2 \) (donde \( x \ne 0 \)):

\[ - x^2 \le x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2 \] La desigualdad anterior es válida para cualquier valor de x excepto 0 donde \( x^2 \cos (1/x) \) es indefinida. A medida que x se acerca a 0, tanto -x2 como x2 se acercan a 0 y según el teorema del encaje obtenemos \[ \lim_{x \to 0} x^2 cos(1/x) = 0 \]

Ejemplo 2:

Encuentre el límite \[ \lim_{\to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]

Solución al Ejemplo 2:
Suponga que \( 0 \lt x \lt \pi / 2 \) y consideremos el círculo unitario, que se muestra a continuación, y un sector OAC con ángulo central x en posición estándar. A es un punto en el círculo unitario y AB es tangente al círculo en el punto A , por lo tanto, un ángulo recto en este punto.
Cálculo Geométrico del Límite de sin x/x
El punto C es un punto en el círculo unitario, radio igual a 1, y tiene coordenadas \( (\cos x, \sin x) \). Encontremos las áreas del triángulo OAC , del sector OAC y del triángulo rectángulo OAB .
Utilice la fórmula del seno del área de un triángulo para obtener:
área del triángulo \( OAC = (1/2) \sin x \cdot OA \cdot OC = (1/2) \sin x \cdot 1 \cdot 1 = (1/2) \sin x \)
Utilice la fórmula del área de un sector para obtener:
área del sector \( OAC = (1/2)\cdot(x)\cdot OC^2 = (1/2) x \)
área del triángulo rectángulo \( OAB = (1/2) \cdot (base) \cdot (altura) = (1/2) \cdot (1) \cdot (\tan x) = (1/2) \tan x \)
Comparando geométricamente las tres áreas, podemos escribir la desigualdad \[ \text{área del triángulo} \; OAC \; \lt \; \text{área del sector} \; OAC \; \lt \; \text{área del triángulo} \; OAB \] Sustituya las áreas en la desigualdad anterior por sus expresiones obtenidas arriba. \[ (1/2)(\sin x) \lt (1/2) x \lt (1/2) \tan x \] Multiplique todos los términos por \( \dfrac{2}{\sin x} \) lo que da \[ 1 \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt 1 / \cos x \] Tome el recíproco e invierta los dos símbolos de desigualdad en la desigualdad doble \[ 1 \gt \dfrac{\sin x} {x} \gt \cos x \] Que es equivalente a \[ \cos x \lt \dfrac{\sin x} {x} \lt 1 \] Se puede demostrar que la desigualdad anterior es válida para \( -\pi/ 2 \lt x \lt 0 \), por lo que la desigualdad anterior es válida para todos los \( x \) excepto \( x = 0 \) donde \( \dfrac{\sin x} {x} \) es indefinida. Dado que \[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \] y \[ \lim_{x \to 0} 1 = 1 \] , podemos aplicar el teorema del encaje para obtener \[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] Este resultado es muy importante y se utilizará para encontrar otros límites de funciones trigonométricas y derivadas.

Más Referencias y Enlaces