Calcular Límites de Funciones Trigonométricas

Se presentan varios ejemplos relacionados con los límites de funciones trigonométricas, con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas.

Ejemplos y Soluciones

Ejemplo 1

Encuentre el límite
Límite de (1-cos x)/x cuando x tiende a 0
Solución del Ejemplo 1:
Multiplicamos el numerador y el denominador por 1 + cos x y escribimos
Paso 1 del Límite
El numerador se iguala a Paso 2 del Límite, por lo tanto
Paso 3 del Límite
El límite se puede escribir como
Paso 4 del Límite
Hemos utilizado el teorema: Teorema del Límite.

\( \)\( \)\( \)\( \)

Ejemplo 2

Encuentre el límite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4 x}{4 x} \)
Solución del Ejemplo 2:
Sea \( t = 4 x \). Cuando \( x \) se acerca a 0, \(t\) también se acerca a 0, de modo que
\( \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \)
Ahora usamos el teorema: \( \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \) para encontrar el límite
\( \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin 4 x}{4 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} = 1 \)


Ejemplo 3

Encuentre el límite \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} \)
Solución del Ejemplo 3:
Sea \( t = 6 x \) o \( x = t / 6 \). Cuando \( x \) se acerca a 0, \( t \) también se acerca a 0, por lo que
\( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6 x}{5 x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5 t/6} \)
\( = \lim_{t \to 0} (6 / 5) \dfrac {\sin t}{t} \)
\( = (6 / 5) \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t}{t} \)
\( = (6 / 5) \cdot 1 = 6 / 5 \)


Ejemplo 4

Encuentre el límite \( \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \)
Solución del Ejemplo 4:
Si aplicamos el teorema del límite del cociente de dos funciones, obtendremos la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Necesitamos encontrar otra manera. Para \( x = -3 \), el denominador es igual a cero y por lo tanto puede factorizarse, por lo tanto
\( \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 +7x + 12} \)
\( = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \)
Sea \( t = x + 3 \) o \( x = t - 3 \). Cuando \( x \) se acerca a \( -3 \), \( t \) se acerca a 0.
\( \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2+7x + 12} \)
\( = \lim_{t \to 0} \dfrac {\sin t} { t (t + 1) }\)
Ahora aplicamos el teorema del límite del producto de dos funciones.
\( = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t+1} \)
\( = 1 \cdot 1 = 1 \)


Ejemplo 5

Encuentre el límite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \)
Solución del Ejemplo 5:
Encontraremos el límite cuando \(x\) se acerca a 0 por la izquierda y cuando \(x\) se acerca a 0 por la derecha. Para \(x \lt 0\), \( | x | = -x \)
\( \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} \)
\( = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin (- x)}{x} \)
\( = - \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} \)
\( = -1 \)
Para \( x \gt 0 \), \( | x | = x \)
\( \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin | x |}{x} \)
\( \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x }{x} \)
\( = 1 \)
Los límites por la izquierda y por la derecha tienen valores diferentes, por lo tanto, el límite anterior no existe.
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin | x |}{x} \) no existe


Ejemplo 6

Encuentre el límite \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \)
Solución del Ejemplo 6:
Primero usamos la identidad trigonométrica \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)
\( \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{ x \cos x}{\sin x} \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\sin x / x} \)
Ahora usamos el teorema del límite del cociente.
\( = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} (\sin x / x)} = 1 / 1 = 1 \)


Ejemplo 7

Encuentre el límite \( \lim_{x \to 0} x \csc x \)
Solución del Ejemplo 7:
Primero usamos la identidad trigonométrica \( \csc x = 1 / \sin x \)
\( \lim_{x \to 0} x \csc x \)
\( = \lim_{x \to 0} x / \sin x \)
\( = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sin x / x} \)
Se usa el límite del cociente.
\( = 1 / 1 = 1 \)


Ejercicios:

Encuentre los límites
1. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3 x }{\sin 8 x} \)
2. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{x} \)
3. \( \lim_{x \to 0} \sqrt x \, \csc ( 4 \sqrt x ) \)
4. \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 3x}{x \, \sin(x^2)} \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

Encuentre los límites
1. 3/8
2. 3
3. 1/4
4. 27


Más Referencias y enlaces