Puntos Críticos de Funciones de Dos Variables

Un punto crítico de una función multivariable es un punto donde las derivadas parciales de primer orden de esta función son iguales a cero. Se presentan ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo encontrar los puntos críticos de una función con dos variables.
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Ejemplos con Soluciones Detalladas

Ejemplo 1

Encuentra el(los) punto(s) crítico(s) de la función \( f \) definida por
\[ f(x , y) = x^2 + y^2 \]

Solución al Ejemplo 1:
Primero encontramos las derivadas parciales de primer orden.
\( f_x(x,y) = 2x \)
\( f_y(x,y) = 2y \)
Ahora resolvemos las siguientes ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente.
\( f_x(x,y) = 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = 2y = 0 \)
La solución al sistema de ecuaciones anterior es el par ordenado (0,0).
A continuación se muestra el gráfico de \( f(x , y) = x^2 + y^2 \) y parece que en el punto crítico (0,0) \( f \) tiene un valor mínimo.

critical point example 1, minimum point

Ejemplo 2

Encuentra el(los) punto(s) crítico(s) de la función \( f \) definida por \[ f(x , y) = x^2 - y^2 \]

Solución al Ejemplo 2:
Encontramos las derivadas parciales de primer orden de la función \( f \).
\( f_x(x,y) = 2x \)
\( f_y(x,y) = -2y \)
Resolvemos las siguientes ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente.
\( f_x(x,y) = 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = - 2y = 0 \)
La solución es el par ordenado (0,0).
El gráfico de \( f(x , y) = x^2 - y^2 \) se muestra a continuación. \( f \) se curva hacia abajo en la dirección de \( y \) y se curva hacia arriba en la dirección de \( x \). \( f \) está estacionaria en el punto (0,0) pero no hay ningún extremo (máximo o mínimo). (0,0) se llama un punto de silla porque no hay un máximo relativo ni un mínimo relativo y la superficie cerca de (0,0) parece una silla.

critical point example 2, saddle point

Ejemplo 3

Encuentra el(los) punto(s) crítico(s) de la función \( f \) definida por
\[ f(x , y) = - x^2 - y^2 \]

Solución al Ejemplo 3:
Primero encontramos las derivadas parciales de primer orden.
\( f_x(x,y) = - 2x \)
\( f_y(x,y) = - 2y \)
Ahora resolvemos las siguientes ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente.
\( f_x(x,y) = - 2x = 0 \)
\( f_y(x,y) = - 2y = 0 \)
La solución al sistema de ecuaciones anterior es el par ordenado (0,0).
El gráfico de \( f(x , y) = - x^2 - y^2 \) se muestra a continuación y tiene un máximo relativo.

critical point example 3, maximum point

Ejemplo 4

Encuentra el(los) punto(s) crítico(s) de la función definida por \[ f(x , y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 -12y \]

Solución al Ejemplo 4:
Las deriv adas parciales de primer orden son
\( f_x(x,y) = 3x^2 + 6x - 9 \)
\( f_y(x,y) = 3y^2 - 12 \)
Ahora resolvemos las ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente.
\( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)
\( 3y^2 - 12 = 0 \)
Las soluciones, que son los puntos críticos, para el sistema de ecuaciones anterior son
(1,2) , (1,-2) , (-3,2) , (-3,-2)

Ejercicios

Encuentra, si existen, los puntos críticos de las funciones siguientes.
1. \( f(x , y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
2. \( f(x , y) = e^{(- x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2)} \)
3. \( f(x , y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
4. \( f(x , y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)

Respuestas a los Ejercicios Anteriores

1. (0,0) , (1,1)
2. (1,-1)
3. (16,4) , (1,-1)
4. no hay puntos críticos.

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