Sea \( f(x,y) \) una función con dos variables. Si mantenemos \( y \) constante y diferenciamos \( f \) (suponiendo que \( f \) es diferenciable) con respecto a la variable \( x \), usando las reglas y fórmulas de diferenciación, obtenemos lo que se llama la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \) que se denota por
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x} \; \text{o} \; f_x
\]
De manera similar, si mantenemos \( x \) constante y diferenciamos \( f \) (suponiendo que \( f \) es diferenciable) con respecto a la variable \( y \), obtenemos lo que se llama la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \) que se denota por
\[
\dfrac{\partial f}{\partial y} \; \text{o} \; f_y
\]
También podríamos usar los límites para definir derivadas parciales de la función \( f \) de la siguiente manera:
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \]
y
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}
\]
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Presentamos varios ejemplos con solución detallada sobre cómo calcular derivadas parciales.
Ejemplo 1
Encuentra las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x , y) \) está dada por
\[
f(x,y) = x^2 y + 2 x + y
\]
Solución al Ejemplo 1:
Supongamos que \( y \) es constante y diferenciamos con respecto a \( x \) para obtener
\[
\begin{align*}
f_x &= \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2 x + y ) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y ) + \dfrac{\partial}{\partial x}(2 x) + \dfrac{\partial}{\partial x}( y ) = 2 xy + 2 + 0 = 2xy + 2
\end{align*}
\]
Supongamos que \( x \) es constante y diferenciamos con respecto a \( y \) para obtener
\[
\begin{align*}
f_y &= \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2 x + y ) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y ) + \dfrac{\partial}{\partial y}(2 x) + \dfrac{\partial}{\partial y}( y ) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1
\end{align*}
\]
Ejemplo 2
Encuentra las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x , y) \) está dada por
\[
f(x,y) = \sin(x y) + \cos x
\]
Solución al Ejemplo 2:
Diferenciamos con respecto a \( x \) asumiendo que \( y \) es constante
\[
\begin{align*}
f_x &= \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x y) + \cos x ) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x y) ) + \dfrac{\partial}{\partial x}(\cos x) = y \cos(x y) -\sin(x)
\end{align*}
\]
Diferenciamos con respecto a \( y \) asumiendo que \( x \) es constante
\[
\begin{align*}
f_y &= \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x y) + \cos x ) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x y) ) + \dfrac{\partial}{\partial y}(\cos x) = x \cos(x y) - 0 = x \cos(x y)
\end{align*}
\]
Ejemplo 3
Encuentra \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x , y) \) está dada por
\[
f(x,y) = x e^{x y}
\]
Solución al Ejemplo 3:
Diferenciamos con respecto a \( x \) asumiendo que \( y \) es constante usando la regla del producto de la diferenciación.
\[
\begin{align*}
f_x &= \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x e^{x y}) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial
x}(x) e^{x y} + x \dfrac{\partial}{\partial x}(e^{x y}) = 1 \cdot e^{x y} + x \cdot y e^{x y} = (1+xy) e^{x y}
\end{align*}
\]
Diferenciamos con respecto a \( y \) asumiendo que \( x \) es constante.
\[
\begin{align*}
f_y &= \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(x e^{x y}) \\
&= x \dfrac{\partial}{\partial y}(e^{x y}) = x \cdot x e^{x y} = x^2 e^{x y}
\end{align*}
\]
Ejemplo 4
Encuentra \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x , y) \) está dada por
\[
f(x,y) = \ln(x^2+2y)
\]
Solución al Ejemplo 4:
Diferenciamos con respecto a \( x \) para obtener
\[
\begin{align*}
f_x &= \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2+2y)) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+2y) \cdot \dfrac{1}{x^2+2y} = \dfrac{2x}{x^2+2y}
\end{align*}
\]
Diferenciamos con respecto a \( y \)
\[
\begin{align*}
f_y &= \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2+2y)) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2+2y) \cdot \dfrac{1}{x^2+2y} = \dfrac{2}{x^2+2y}
\end{align*}
\]
Ejemplo 5
Encuentra \( f_x(2 , 3) \) y \( f_y(2 , 3) \) si \( f(x , y) \) está dada por
\[
f(x,y) = y x^2 + 2 y
\]
Solución al Ejemplo 5:
Primero encontramos las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \)
\[
f_x(x,y) = 2x y
\]
\[
f_y(x,y) = x^2 + 2
\]
Calculamos ahora \( f_x(2 , 3) \) y \( f_y(2 , 3) \) sustituyendo \( x \) y \( y \) por sus valores dados
\[
f_x(2,3) = 2 (2)(3) = 12
\]
\[
f_y(2,3) = 2^2 + 2 = 6
\]
Ejercicios
Encuentra las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) de las siguientes funciones
1. \( f(x , y) = x e^{x + y} \)
2. \( f(x , y) = \ln ( 2 x + y x) \)
3. \( f(x , y) = x \sin(x - y) \)
