Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables
Localiza máximos relativos, mínimos y puntos de silla de funciones de dos variables. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas. Se muestran gráficos tridimensionales de funciones para confirmar la existencia de estos puntos. Más en Problemas de Optimización con Funciones de Dos Variables en este sitio web.
Teorema
Sea \( f \) una función con dos variables con segundas derivadas parciales continuas \( f_{xx} \), \( f_{yy} \) y \( f_{xy} \) en un punto crítico \((a,b)\). Sea
\[ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - f_{xy}^2(a,b) \]
a) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a,b) > 0 \), entonces \( f \) tiene un mínimo relativo en el punto \((a,b)\).
b) Si \( D > 0 \) y \( f_{xx}(a,b) \lt 0 \), entonces \( f \) tiene un máximo relativo en el punto \((a,b)\).
c) Si \( D \lt 0 \), entonces \( f \) tiene un punto de silla en el punto \((a,b)\).
d) Si \( D = 0 \), no se puede sacar ninguna conclusión.
Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ahora presentamos varios ejemplos con soluciones detalladas sobre cómo localizar mínimos relativos, máximos y puntos de silla de funciones de dos variables. Cuando se encuentran demasiados puntos críticos, el uso de una tabla es muy conveniente.
Ejemplo 1
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo relativo, máximo y puntos de silla de la función \( f \) definida por
\[ f(x , y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]
Solución al Ejemplo 1:
Encuentra las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \).
\( f_x(x,y) = 4x + 2y - 6 \)
\( f_y(x,y) = 2x + 4y \)
Los puntos críticos satisfacen las ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente. Por lo tanto,
\( 4x + 2y - 6 = 0 \)
\( 2x + 4y = 0 \)
El sistema de ecuaciones anterior tiene una solución en el punto (2,-1).
Ahora necesitamos encontrar las segundas derivadas parciales \( f_{xx}(x,y) \), \( f_{yy}(x,y) \) y \( f_{xy}(x,y) \).
\( f_{xx}(x,y) = 4 \)
\( f_{yy}(x,y) = 4 \)
\( f_{xy}(x,y) = 2 \)
Ahora necesitamos encontrar \( D \) definido anteriormente.
\( D = f_{xx}(2,-1) f_{yy}(2,-1) - f_{xy}^2(2,-1) = ( 4 )( 4 ) - 2^2 = 12 \)
Dado que \( D \) es positivo y \( f_{xx}(2,-1) \) también es positivo, según el teorema anterior, la función \( f \) tiene un mínimo local en (2,-1).
El gráfico tridimensional de la función \( f \) dado arriba muestra que \( f \) tiene un mínimo local en el punto (2,-1,\( f(2,-1) \)) = (2,-1,-6).
Ejemplo 2
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo relativo, máximo y puntos de silla de la función \( f \) definida por
\( f(x
, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \).
Solución al Ejemplo 2:
Encuentra las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \).
\( f_x(x,y) = 4x -
4y \)
\( f_y(x,y) = - 4x + 4y^3 \)
Determina los puntos críticos resolviendo las ecuaciones \( f_x(x,y) = 0 \) y \( f_y(x,y) = 0 \) simultáneamente. Por lo tanto
\( 4x - 4y = 0 \)
\( - 4x + 4y^3 = 0 \)
La primera ecuación da \( x = y \). Sustituye \( x \) por \( y \) en la ecuación \( - 4x + 4y^3 = 0 \) para obtener.
\( - 4y + 4y^3 = 0 \)
Factoriza y resuelve para \( y \).
\( 4y(-1 + y^2) = 0 \)
\( y = 0 \), \( y = 1 \) y \( y = -1 \)
Ahora usamos la ecuación \( x = y \) para encontrar los puntos críticos.
\( (0 , 0) \), \( (1 , 1) \) y \( (-1 , -1) \)
Ahora determinamos las segundas derivadas parciales.
\( f_{xx}(x,y) = 4 \)
\( f_{yy}(x,y) = 12y^2 \)
\( f_{xy}(x,y) = -4 \)
Ahora usamos una tabla para estudiar los signos de \( D \) y \( f_{xx}(a,b) \) y usamos el teorema anterior para decidir si un punto crítico dado es un punto de silla, máximo relativo o mínimo relativo.
| punto crítico \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | -4 | -4 | -4 |
| D | -16 | 32 | 32 |
| punto de silla | mínimo relativo | mínimo relativo |
Un gráfico tridimensional de la función \( f \) muestra que \( f \) tiene dos mínimos locales en (-1,-1,1) y (1,1,1) y un punto de silla en (0,0,2).
Ejemplo 3
Determina los puntos críticos y localiza cualquier mínimo relativo, máximo y puntos de silla de la función \( f \) definida por
\( f(x , y) = - x^4 - y^4 + 4xy \).
Solución al Ejemplo 3:
Las primeras derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) están dadas por.
\( f_x(x,y) = - 4x^3 + 4y \)
\( f_y(x,y) = - 4y^3 + 4x \)
Ahora resolvemos las ecuaciones
\( f_y(x,y) = 0 \) y
\( f_x(x,y) = 0 \) para encontrar los puntos críticos.
\( - 4x^3 + 4y = 0 \)
\( - 4y^3 + 4x = 0 \)
La primera ecuación da \( y = x^3 \). Combinada con la segunda ecuación, obtenemos.
\( - 4(x^3)^3 + 4x = 0 \)
Lo cual puede escribirse como.
\( x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \)
Que tiene las soluciones.
\( x = 0 \), \( -1 \) y \( 1 \).
Ahora usamos la ecuación \( y = x^3 \) para encontrar los puntos críticos.
\( (0 , 0) \), \( (1 , 1) \) y \( (-1 , -1) \)
Ahora determinamos las segundas derivadas parciales.
\( f_{xx}(x,y) = -12x^2 \)
\( f_{yy}(x,y) = -12y^2 \)
\( f_{xy}(x,y) = 4 \)
La tabla a continuación muestra los signos de \( D \) y \( f_{xx}(a,b) \). Luego se utiliza el teorema anterior para decidir qué tipo de puntos críticos son.
| punto crítico \( (a,b) \) | (0,0) | (1,1) | (-1,1) |
| \( f_{xx}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a,b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a,b) \) | 4 | 4 | 4 |
| D | -16 | 128 | 128 |
| punto de silla | máximo relativo | máximo relativo |
Un gráfico tridimensional de la
función \( f \) muestra que \( f \) tiene dos máximos locales en (-1,-1,2) y (1,1,2) y un punto de silla en (0,0,0).
Ejercicios
Determina los puntos críticos de las funciones a continuación y averigua si cada punto corresponde a un mínimo relativo, máximo, punto de silla o no se puede sacar ninguna conclusión.
1. \( f(x , y) = x^2 + 3 y^2 - 2 xy - 8x \)
2. \( f(x , y) = x^3 - 12 x + y^3 + 3 y^2 - 9y \)
Respuestas a los Ejercicios Anteriores
1. máximo relativo en (1,1) y (-1,-1) y punto de silla en (0,0)
2. máximo relativo en (2,-3), mínimo relativo en (2,1), puntos de silla en (-2,-3) y (-2,1).
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