Reglas para Radicales y Exponentes

Se presentan reglas importantes para simplificar expresiones radicales y expresiones con exponentes junto con ejemplos. Las preguntas con respuestas están al final de la página.

Reglas para Exponentes.

Reglas Ejemplos
\( 0^ 0\)   es indefinido
\( 0^m = 0 \) , \( m \gt 0 \) \( 0^{10} = 0 \)
\( x^0 = 1 \; , \; x \ne 0 \) \( 21^0 = 1 \)
\( 1^m = 1 \) \( 1^{12} = 1 \)
\( (-1)^m = 1 \) si \( m \) es un número entero par \( (-1)^6 = 1 \)
\( (-1)^m = - 1 \) si \( m \) es un número entero impar \( (-1)^9 = - 1 \)
\( x^m x^n = x^{m+n} \) \( 2^3 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 \)
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \) \( \dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 \)
\( (x^m)^n = x^{m \times n} \) \( (4^5)^2= 4^{5 \times 2} = 4^{10} \)
\( (x \; y)^m = x^m \; y^m \) \( (3 \; b)^2 = 3^2 \; b^2 = 9 b^2 \)
\( \left ( \dfrac{x}{y} \right )^m = \dfrac{x^m}{y^m} \; , y \ne 0 \) \( \left ( \dfrac{4}{b} \right )^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2} \)
\( (-x)^m = (-1)^m \; x^m \) \( (-3)^4 = (-1)^4 (3^4) = 1 \times 81 = 81 \)
\( \left (\dfrac{x}{y} \right)^{-m} = \left (\dfrac{y}{x} \right)^{m} \; , \; x \ne 0 \; , y \; \ne 0 \) \( \left (\dfrac{4}{3} \right)^{-2} = \left (\dfrac{3}{4} \right)^{2} \)
\( \dfrac{1}{y^{-m}} = y^m \; , \; y \ne 0 \) \( \dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2 \)
\( | x^m| = | x |^m \) \( | (- 5)^4 | = |-5| ^4 = 5^4 = 625 \)

¿Qué son los Radicales?

Si \( x = y^n \), entonces \( x \) es la \( n^{th} \) raíz de \( y \).
La raíz principal \( n^{nt} \) de un número \( x \) tiene el mismo signo que \( x \).
Ejemplos
1) La raíz cuadrada (segunda) de \( 4 \) es \( 2 \) (Nota: - 2 también es una raíz, pero no es la principal porque tiene un signo opuesto a 4).
2) La raíz cúbica (tercera) de \( 8 \) es \( 2 \)
4) La raíz cúbica (tercera) de \( - 8 \) es \( - 2 \)
Símbolos especiales llamados radicales se usan para indicar la raíz principal de un número.
\( \huge \color{red}{ y = \sqrt[n]{x} } \)
\( n \) es el índice, \( x \) es el radicando. Para la raíz cuadrada (n = 2), no escribimos el índice.

Reglas para Radicales.

Reglas Ejemplos
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \) \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 \)
\( x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m} \) \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 \)
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x y} \) \(\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \times 2} = \sqrt[5]{32} = 2 \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} \) \(\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = - 2 \)
\( (\sqrt[m]{x})^m = x \) \((\sqrt[3]{ - 2})^3 = - 2\)
\( \sqrt[m]{x^m} = | x | \;\; \text{si m es par} \) \(\sqrt[4]{(- 2)^4} = | - 2| = 2 \)
\( \sqrt[m]{x^m} = x \;\; \text{si m es impar} \) \(\sqrt[5]{ (- 2)^5} = - 2 \)

Preguntas

Utiliza las reglas enumeradas arriba para simplificar las siguientes expresiones y reescríbelas con exponentes positivos. Ten en cuenta que a veces necesitas usar más de una regla para simplificar una expresión dada.

  1. \( (-1)^{125} \)

  2. \( 2^5 \; 2^{-2} \)

  3. \( 9^3 / 9^5 \)

  4. \( 0^3 \)

  5. \( ( 2 / y)^5 \)

  6. \( (- 3)^4 \)

  7. \( (2 / 5)^{-1} \)

  8. \( | - 2 |^4 \)

  9. \( (-3)^0 \)

  10. \( (- 1)^4 \)

  11. \( (- 1)^{15} \)

  12. \( (3^2)^3 \)

  13. \( (- 4 x)^3 \)

  14. \(\sqrt[4]{16^3} \)

  15. \(27^{5/3} \)

  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} \)

  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} \)

  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 \)

  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 }\)

  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5}\)

Respuestas a las Preguntas Anteriores


  1. \( (-1)^{125} = -1 \)

  2. \( 2^5 \; 2^{-2} = 2^3 = 8 \)

  3. \( 9^3 / 9^5 = 1 / 9^2 = 1/81 \)

  4. \( 0^3 = 0 \)

  5. \( ( 2 / y)^5 = 2^5 / y^5 = 32 / y^5\)

  6. \( (- 3)^4 = 3^4 = 81\)

  7. \( (2 / 5)^{-1} = 5/2\)

  8. \( | - 2 |^4 = 2^4 = 16\)

  9. \( (-3)^0 = 1 \)

  10. \( (- 1)^4 = 1\)

  11. \( (- 1)^{15} = -1\)

  12. \( (3^2)^3 = 3^6 = 729 \)

  13. \( (- 4 x)^3 = (- 4)^3 x^3 = - 4^3 \; x^3 = - 64 x^3 \)

  14. \(\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 \)

  15. \(27^{5/3} = (\sqrt[3]{27})^5 = 3^5 \)

  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)

  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\dfrac{160}{40}} = \sqrt{4} = 2\)

  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 = 3^{(6/6)} = 3^1 = 3 \)

  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 } = | - 7 | = 7 \)

  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5} = - 9\)

Más Referencias y Enlaces

Simplificar Expresiones Radicales
¿Qué son los Exponentes en Matemáticas?