Problemas de práctica para aprender a determinar la ecuación de una función sinusoidal basándose en su gráfica. Las formas generales de las funciones sinusoidales son: \[ y = a \sin[ b ( x - d) ] + c \quad \text{o} \quad y = a \cos[ b ( x - d) ] + c \] Utiliza estas fórmulas para identificar amplitud, período, desfase y desplazamiento vertical a partir de la gráfica de la función seno o coseno.
La escala en el eje y es una unidad por división grande, por lo tanto, el valor máximo es \( y_{\text{max}} = 1 \) y el valor mínimo es \( y_{\text{min}} = -7 \).
La escala en el eje x es \( \pi \) por división grande y \( \dfrac{\pi}{5} \) por división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el fin de un período \( P \), que es igual a \( 5\pi \). Estos puntos son útiles porque son máximos con coordenadas claras.
Dado que A y B son máximos, es más fácil escribir la ecuación de la gráfica como: \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \] asumiendo que originalmente es \( \cos(x) \), la cual comienza con un máximo en \( x = 0 \), y que ha sido transformada por desplazamientos verticales y horizontales, y estiramientos/compresiones.
Calculemos \( a \) y \( c \). \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 - (-7)}{2} = 4 \] lo que da dos valores posibles para \( a \): \( a = 4 \) o \( a = -4 \).
La gráfica entre A y B no presenta reflexión comparada con el período de \( \cos(x) \) entre \( 0 \) y \( 2\pi \), por lo que podemos tomar \( a = 4 \). \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{1 + (-7)}{2} = -3 \] \[ \text{Período: } P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 5\pi \] Resolviendo para \( |b| \): \[ |b| = \dfrac{2}{5} \] Nuevamente, dos valores posibles para \( b \): \( b = \dfrac{2}{5} \) y \( b = -\dfrac{2}{5} \). Tomamos \( b = \dfrac{2}{5} \) para facilitar el cálculo de \( d \).
Escribimos la función para la gráfica como: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}(x - d) \right] - 3 \] \( d \) indica el desplazamiento. Se determina comparando las gráficas de \[ y = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5}x \right) - 3 \quad \text{(con \( d = 0 \))} \] y la gráfica dada. Observamos que el desplazamiento (coordenada x del punto A) es \( d = -\dfrac{\pi}{5} \) (una división pequeña a la izquierda). Por lo tanto, la ecuación de la gráfica es: \[ y = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x - \left(-\dfrac{\pi}{5}\right)\right) \right] - 3 = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5}\left(x + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 \]
Verificamos que la función encontrada corresponde a la gráfica dada evaluando algunos puntos.
Punto A: \( x = -\dfrac{\pi}{5} \); evaluamos \( y \) en este valor: \[ y\left(-\dfrac{\pi}{5}\right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( -\dfrac{\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos(0) - 3 = 1 \] que corresponde al valor en la gráfica.
Punto B: \( x = 4\pi + \dfrac{4\pi}{5} = \dfrac{24\pi}{5} \) (4 divisiones pequeñas después de \( 4\pi \)): \[ y\left( \dfrac{24\pi}{5} \right) = 4 \cos\left[ \dfrac{2}{5} \left( \dfrac{24\pi}{5} + \dfrac{\pi}{5} \right) \right] - 3 = 4 \cos\left( \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{25\pi}{5} \right) - 3 = 4 \cos(2\pi) - 3 = 1 \] que corresponde al valor en la gráfica.
Valor máximo de \( y \): \( y_{\text{max}} = 0.2 \) y valor mínimo: \( y_{\text{min}} = -1.4 \) (una división grande en el eje y equivale a 1 unidad. Una división pequeña es \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \)).
La escala en el eje x es \( \pi \) por división grande y \( \dfrac{\pi}{5} \) por división pequeña.
Los puntos A y B marcan el inicio y el fin de un período \( P = 4\pi \).
Coordenadas: \( A\left(\dfrac{\pi}{2}, 0.2\right) \), \( B\left(\dfrac{9\pi}{2}, 0.2\right) \).
La gráfica entre A y B puede asumirse como una transformación de \( \cos(x) \). Por tanto, una ecuación posible es: \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]
Calculemos \( a \) y \( c \): \[ |a| = \dfrac{y_{\text{max}} - y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0.2 - (-1.4)}{2} = 0.8 \] Valores posibles: \( a = 0.8 \) o \( a = -0.8 \). Tomamos \( a = 0.8 \) (sin reflexión). \[ c = \dfrac{y_{\text{max}} + y_{\text{min}}}{2} = \dfrac{0.2 + (-1.4)}{2} = -0.6 \] Período: \( P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 4\pi \) → \( |b| = \dfrac{1}{2} \). Tomamos \( b = \dfrac{1}{2} \).
La función es: \[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}(x - d) \right] - 0.6 \] El desplazamiento \( d \) es la coordenada x de A: \( d = \dfrac{\pi}{2} \). Entonces: \[ y = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 \]
Punto A: \( x = \dfrac{\pi}{2} \): \[ y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(0) - 0.6 = 0.2 \] Punto B: \( x = \dfrac{9\pi}{2} \): \[ y\left(\dfrac{9\pi}{2}\right) = 0.8 \cos\left[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right] - 0.6 = 0.8 \cos(2\pi) - 0.6 = 0.2 \] Ambos coinciden con la gráfica.
Valor máximo de \( y \): \( y_{\text{max}} = 0 \), valor mínimo: \( y_{\text{min}} = -2 \) (división grande en y = 1 unidad).
Escala en x: 1 unidad por división grande, \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \) por división pequeña.
Período \( P = 2.6 - 0.6 = 2 \). Puntos A(0.6, 0) y B(2.6, 0).
La gráfica parece una transformación de \( \sin(x) \). Ecuación posible: \[ y = a \sin[ b(x - d) ] + c \]
Cálculos: \[ |a| = \dfrac{0 - (-2)}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \text{ (sin reflexión)} \] \[ c = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \] \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = 2 \quad \Rightarrow \quad |b| = \pi \quad \Rightarrow \quad b = \pi \]
La función es: \[ y = \sin[ \pi(x - d) ] - 1 \] Desplazamiento \( d = 0.6 \) (coordenada x de A). Entonces: \[ y = \sin[ \pi(x - 0.6) ] - 1 = \sin\left[ \pi\left(x - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 \]
Punto A: \( x = 0.6 \): \[ y(0.6) = \sin\left[ \pi\left(0.6 - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 = \sin(0) - 1 = -1 \] Punto B: \( x = 2.6 \): \[ y(2.6) = \sin\left[ \pi\left(2.6 - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 = \sin(2\pi) - 1 = -1 \] Primer máximo después de A: \( x = 1.1 \): \[ y(1.1) = \sin\left[ \pi\left(1.1 - \dfrac{3}{5}\right) \right] - 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 1 = 0 \] Todos coinciden.
Valor máximo: \( y_{\text{max}} = -1 \), mínimo: \( y_{\text{min}} = -3 \) (división grande en y = 1 unidad, pequeña = 0.2).
Escala en x: \( \dfrac{\pi}{5} \) por división grande, \( \dfrac{\pi}{25} \) por pequeña.
Período \( P = \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} = \pi \). Puntos A\( \left(\dfrac{3\pi}{5}, -1\right) \), B\( \left(\dfrac{8\pi}{5}, -1\right) \).
Gráfica como transformación de \( \cos(x) \): \[ y = a \cos\left[ b(x - d) \right] + c \]
Cálculos: \[ |a| = \dfrac{-1 - (-3)}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] \[ c = \dfrac{-1 + (-3)}{2} = -2 \] \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = \pi \quad \Rightarrow \quad |b| = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 2 \]
La función es: \[ y = \cos\left[ 2(x - d) \right] - 2 \] Desplazamiento \( d = \dfrac{3\pi}{5} \). Por tanto: \[ y = \cos\left[ 2\left(x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 \]
Punto A: \( x = \dfrac{3\pi}{5} \): \[ y\left( \dfrac{3\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{3\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(0) - 2 = -1 \] Punto B: \( x = \dfrac{8\pi}{5} \): \[ y\left( \dfrac{8\pi}{5} \right) = \cos\left[ 2\left( \dfrac{8\pi}{5} - \dfrac{3\pi}{5} \right) \right] - 2 = \cos(2\pi) - 2 = -1 \] Coinciden.