Explora conceptos clave de funciones logarítmicas y funciones exponenciales con soluciones claras y paso a paso. Aprende a resolver ecuaciones con logaritmos y exponentes, aplica la fórmula de cambio de base, simplifica expresiones logarítmicas y encuentra interceptos de gráficas logarítmicas. Estos ejemplos cubren habilidades esenciales para álgebra, cálculo y problemas de ciencias e ingeniería.
Reescribe la ecuación como: \[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \] Lo que lleva a: \[ 2x + 1 = 0 \] Resuelve para \( x \): \[ x = -\dfrac{1}{2} \]
Resuelve para \( m \): \[ x y^m = y x^3 \]
Divide todos los términos de la ecuación dada por \( x y \): \[ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} \] y simplifica: \[ y^{m - 1} = x^2 \]
Toma \(\ln\) de ambos lados: \[ \ln(y^{m - 1}) = \ln (x^2) \] y simplifica: \[ (m - 1) \ln y = 2 \ln x \]
Resuelve para \( m \): \[ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} \]
Dado: \[ \log_8(5) = b \]. Expresa \( \log_4(10) \) en términos de \( b \).
Usa la regla del logaritmo de un producto: \[ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) \] Simplifica: \[ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} \] Usa la fórmula de cambio de base: \[ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} = \dfrac{b}{2/3}, \quad \text{pues } \log_8(4) = \dfrac{2}{3} \] Simplifica para obtener: \[ \log_4(10) = \log_4(2) + \log_4(5) = \dfrac{1 + 3b}{2} \]
Simplifica sin calculadora: \[ \log_{6}(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)} \]
\[ \log_6(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)} \] \[ = \log_6(6^3) + \dfrac{\log(42/6)}{\log(7^2)} \] \[ = 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \]
Simplifica sin calculadora: \[ \left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3} \]
Evalúa la expresión:
\[ \left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3} \] \[ = \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{\dfrac{6}{27}}{6} \right)^{1/3} \] \[ = \left( {\dfrac{1}{27}} \right)^{1/3} = \left( {\dfrac{1}{3^3}} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} \]
Expresa \((\log_{x} a)(\log_{a} b)\) como un solo logaritmo.
Usa la fórmula de cambio de base: \[ (\log_x a)(\log_a b) = \log_x a \left(\dfrac{\log_x b}{\log_x a}\right) = \log_x b \]
Encuentra \( a \) tal que la gráfica de \( y = \log_{a} x \) pase por el punto \( (e, 2) \).
El punto \( (e, 2) \) está en la gráfica de \( y \), por lo tanto: \[ 2 = \log_a e \] Reescribe en forma exponencial: \[ a^{2} = e \]
Toma \( \ln \) de ambos lados: \[ \ln(a^{2}) = \ln e \] Simplifica usando las fórmulas: \( \ln(a^{2}) = 2 \ln a \) y \( \ln e = 1 \): \[ 2 \ln a = 1 \] \[ \ln a = \dfrac{1}{2} \] Reescribe en forma exponencial: \[ a = e^{\left({\dfrac{1}{2}} \right)} = \sqrt{e} \]
Encuentra la constante \( A \) tal que \[ \log_{3} x = A \log_{5} x \] para todo \( x > 0 \).
Usa la fórmula de cambio de base con logaritmos naturales para reescribir la ecuación dada: \[ \dfrac{\ln(x)}{\ln(3)} = A \dfrac{\ln(x)}{\ln(5)} \]
Resuelve para \( A \): \[ A = \dfrac{\ln(5)}{\ln(3)} \]
Resuelve para \( x \): \[ \log \left( \log \left( 2 + \log_2 (x + 1) \right) \right) = 0 \]
Reescribe la ecuación dada como: \[ \log \bigl( \log (2 + \log_{2}(x + 1)) \bigr) = \log(1), \] pues \(\log(1) = 0\). \[ \log (2 + \log_{2}(x + 1)) = 1 \]
Reescribe en forma exponencial: \[ 2 + \log_{2}(x + 1) = 10 \]
Aísla el término con \( \log \): \[ \log_{2}(x + 1) = 8 \]
Reescribe en forma exponencial: \[ x + 1 = 2^{8} \]
Resuelve para \( x \): \[ x = 2^{8} - 1 = 255 \]
Resuelve para \( x \): \[ 2 x \cdot b^{4 \log_b x} = 486 \]
Nota que: \[ b^{4 \log_b x} = (b^{\log_b x})^4 = x^4 \]
Por lo tanto, la ecuación dada puede escribirse como: \[ 2x \cdot x^4 = 486 \]
Que se simplifica a: \[ x^5 = 243 \] y luego: \[ x = 243^{\dfrac{1}{5}} = 3 \]
Resuelve para \( x \): \[ \ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = 2 \ln(x + 1) \]
Usa la regla del producto para el lado izquierdo: \[ \ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = \ln ((x - 1)(2x - 1)) \]
Reescribe la ecuación como: \[ \ln ((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) \] lo que da la ecuación algebraica: \[ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 \]
Expande, simplifica y reescribe en forma estándar: \[ x^2 - 5 x = 0 \] Resuelve para \( x \) obteniendo dos soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 5 \]
Verifica soluciones: \(x = 0 \) NO está en el dominio del lado izquierdo de la ecuación y por tanto no es solución.
\( x = 5 \) es una solución de la ecuación dada. (Compruébalo como ejercicio)
Encuentra la intersección con el eje \( x \) de la gráfica de \[ y = 2 \log\left(\sqrt{x - 1} - 2\right) \]
La intersección con el eje \( x \) se encuentra resolviendo: \[ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) \]
Divide ambos lados por 2: \[ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 \]
Reescribe en forma exponencial: \[ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 \]
Reescribe la ecuación como: \[ \sqrt{x - 1} = 3 \]
Eleva ambos lados al cuadrado: \[ (x - 1) = 3^2 \] Resuelve para \( x \): \[ x = 10 \] Nota: verifica que \( x = 10 \) está en el dominio de la función.
Resuelve para \( x \): \[ 9^x - 3^x - 8 = 0 \]
Dado: \[ 9^x - 3^x - 8 = 0 \] Nota que: \[ 9^x = (3^x)^2 \]
La ecuación puede escribirse como: \[ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 \]
Sea \( y = 3^x \) y reescribe la ecuación en términos de \( y\): \[ y^2 - y - 8 = 0 \]
Resuelve para \( y \) obteniendo dos soluciones: \[ \quad y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{y} \quad y = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{2} \]
Dado que \( y = 3^x \) (positivo), la única solución aceptable es: \[ y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]
Sustituye \( y \) por \( 3^x \): \[ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]
Toma \( \ln \) de ambos lados: \[ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) \]
Simplifica y resuelve: \[ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } \]
Resuelve para \( x \): \[ 4^{x - 2} = 3^{x + 4} \] .
Dado: \[ \quad 4^{x - 2} = 3^{x + 4} \] Toma \(\ln\) de ambos lados: \[ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) \] Simplifica: \[ (x - 2)\ln 4 = (x + 4)\ln 3 \] Expande: \[ x \ln 4 - 2 \ln 4 = x \ln 3 + 4 \ln 3 \] Agrupa términos semejantes: \[ x \ln 4 - x \ln 3 = 4 \ln 3 + 2 \ln 4 \] Resuelve para \(x\): \[ x = \dfrac{4 \ln 3 + 2 \ln 4}{\ln 4 - \ln 3} = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 4^2\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \] \[ = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 2^4\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} = \dfrac{4 \ln 6}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \]
Si \(\log_{x}\left(\dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{3}{4}\), ¿cuál es el valor de \(x\)?
Reescribe la ecuación dada en forma exponencial: \[ x^{-\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{8} \]
Eleva ambos lados de la ecuación a la potencia \(-\dfrac{4}{3}\): \[\left(x^{-\dfrac{3}{4}}\right)^{-\dfrac{4}{3}} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\dfrac{4}{3}}\]
Simplifica y resuelve para \( x \): \[ x = 8^{\left(\dfrac{4}{3}\right)} = 2^{4} = 16 \]