Matriz Identidad
Las matrices identidad se presentan junto con sus propiedades, incluyendo ejemplos y ejercicios con sus soluciones detalladas.
Definición de la Matriz Identidad
Una matriz identidad es una matriz cuadrada con todas las entradas diagonales iguales a 1 y todas las demás entradas iguales a cero.
Estos son ejemplos de matrices identidad de dimensiones 1 × 1 , 2 × 2 , 3 × 3 , 4 × 4 ...
Una de las propiedades más importantes de las matrices identidad es que el producto de una matriz cuadrada A de dimensión n × n con la matriz identidad In es igual a A .
A In = In A = A
La matriz identidad se utiliza para definir la inversa de una matriz . Las matrices A y B , de dimensiones n × n , son inversas entre sí, si
A B = B A = In
Propiedades de las Matrices Identidad
En lo que sigue, A es una matriz de dimensión n × n .
Algunas de las propiedades más importantes de las matrices identidad se dan a continuación.
- El producto de una matriz identidad In por una matriz cuadrada A es igual a A .
A In = In A = A
- El producto de una matriz identidad In por sí misma es igual a sí misma.
In In ... In = In
- El producto de una matriz cuadrada A por su inversa A-1 es igual a la matriz identidad In.
A A-1 = A-1 A = In
- La inversa de la matriz identidad In es igual a In.
In-1 = In
- La traspuesta de la matriz identidad In es igual a In.
InT = In
- La matriz identidad es una matriz ortogonal. (Sus columnas y filas son ortonormales).
- El determinante de una matriz identidad es igual a 1 .
Det (In) = 1
Ejemplos con Soluciones
\( \)\( \)\( \)
Ejemplo 1
Encuentra \( x \), \( y \) , \( z \) y \( w \) tales que
\(
\begin{bmatrix}
x-2 & y+1 \\
2z-1 & 2w-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & 6 \\
9 & 10
\end{bmatrix} \).
Solución
El producto a la izquierda de la ecuación matricial es de la forma \( A I_2 \). Según la propiedad \( 1 \), el producto de una matriz con una matriz identidad es igual a la propia matriz, escrito como \( A I_2 = A \). Por lo tanto, podemos escribir
\(
\begin{bmatrix}
x-2 & y+1 \\
2z-1 & 2w-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x-2 & y+1 \\
2z-1 & 2w-2
\end{bmatrix}
\)
Lo que también da
\(
\begin{bmatrix}
x-2 & y+1 \\
2z-1 & 2w-2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 6 \\
9 & 10
\end{bmatrix}
\)
Las matrices de las mismas dimensiones son iguales si sus entradas correspondientes son iguales, de ahí las ecuaciones
\( x - 2 = 2 \)
\( y + 1 = 6 \)
\( 2 z-1 = 9 \)
\( 2 w-2 = 10 \)
Resuelve lo anterior para obtener:
\( x = 4 \) , \( y = 5 \) , \( z = 5 \) , \( w = 6 \)
Ejemplo 2
Simplifica las expresiones \( A^{-1} (A + I_n) - I_n \) donde \( A \) es una matriz de dimensión \( n \times n \).
Solución
Usa la distributividad para reescribir la expresión dada como:
\( A^{-1} (A + I_n) - I_n = A^{-1} A + A^{-1} I_n - I_n \)
Simplifica el lado derecho usando las propiedades 3 y 1 anteriores: \( A^{-1} A = I_n \) y \( A^{-1} I_n = A^{-1} \)
\( A^{-1} (A + I_n) - I_n = I_n + A^{-1} - I_n \)
Simplifica el lado derecho
\( A^{-1} (A + I_n) - I_n = A^{-1} \)
Ejemplo 3
Encuentra la matriz \( B \) y su inversa \( B^{-1} \) dado que \( A =
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{bmatrix} \) y \( B =
\begin{bmatrix}
3 & x \\
y & 5
\end{bmatrix} \) y \( A B = I_2 \).
Solución
Sustituye \( A \), \( B \) y la matriz identidad \( I_2 \) en la ecuación \( A B = I_2 \) para obtener
\(
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & x \\
y & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \)
Multiplica las matrices a la izquierda
\(
\begin{bmatrix}
15+2y&5x+10\\
21+3y&7x+15
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \)
Dos matrices de la misma dimensión son iguales si las entradas correspondientes son iguales, de ahí las ecuaciones
\( 15+2y = 1 \) , \( 21+3y = 0 \)
\( 5x+10 = 0 \) , \( 7x+15 = 1 \)
Resuelve las ecuaciones anteriores para encontrar
\( y = - 7 \) y \( x = - 2\)
También se puede demostrar numéricamente que
\( B A = I_2 \)
Según la propiedad 3 anterior, la matriz \( B = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-7 & 5
\end{bmatrix} \) y la matriz \( A \) son inversas entre sí y por lo tanto \( B^{-1} = A =
\begin{bmatrix}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{bmatrix} \)
Preguntas (con soluciones a continuación)
En lo que sigue, \( A \) , \( B \) y \( C \) son matrices cuadradas de dimensión \( n \times n \).
- Parte 1
Las matrices \( A \) y \( B \) son matrices cuadradas tales que \( A B = I_n\). Encuentra el producto \( B^{-1} A^{-1} \)
- Parte 2
Encuentra \( a \) y \( b \) tales que
\( \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
a \cdot b & a+b
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
10 & 7
\end{bmatrix}
\).
- Parte 3
Simplifica las expresiones \( - A (A^{-1} + I_n) + I_n \).
- Parte 4
Dado que \( B A = C\), escribe la expresión \( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) \) en términos de \( C \) y \( C^{-1} \).
Soluciones a las Preguntas Anteriores
- Parte 1
Toma la inversa de ambos lados de la ecuación matricial dada \( A B = I_n\)
\( (A B)^{-1} = I_n^{-1}\)
Usa la propiedad de la inversa del producto de matrices: \( (A B)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \) y la propiedad 4 de la matriz identidad \( I_n^{-1} = I_n \) para reescribir la ecuación anterior
\( B^{-1}A^{-1} = I_n \)
- Parte 2
El producto de una matriz por la matriz identidad es igual a la propia matriz. Por lo tanto
\( \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
a \cdot b & a+b
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
a \cdot b & a+b
\end{bmatrix}
\)
lo que da la ecuación
\(
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
a \cdot b & a+b
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 3 \\
10 & 7
\end{bmatrix}
\)
La igualdad de las matrices anteriores da el sistema de ecuaciones
\( a b = 10\) y \( a + b = 7 \)
Usa la ecuación \( a + b = 7 \) para encontrar \( b \) en términos de \( a \)
\( b = 7 - a \)
Sustituye \( b \) por \( 7 - a \) en la ecuación \( a b = 10\) para obtener la ecuación cuadrática
\( a (7-a) = 10\)
Resuelve la ecuación anterior para encontrar las soluciones
\( a = 2 \) , \( a = 5 \)
Usa la ecuación \( b = 7 - a \) para encontrar \( b \).
\( a = 2 \) da \( b = 5 \)
\( a = 5 \) da \( b = 2 \)
Por lo tanto, dos pares de soluciones:
\( a = 2 \) y \( b = 5 \)
\( a = 5 \) y \( b = 2 \)
- Parte 3
Usando distributividad, la expresión dada puede reescribirse como:
\( - A (A^{-1} + I_n) + I_n = - A A^{-1} - A I_n + I_n \)
Simplifica usando las propiedades 3 y 1 anteriores: \( A A^{-1} = I_n \) y \( A I_n = A \)
\( = - I_n - A + I_n \)
Simplifica
\( = - A \)
- Parte 4
Usando distributividad, la expresión dada puede reescribirse como:
\( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) = B B^{-1} + B A - A^{-1}B^{-1} - A^{-1} A \)
Simplifica usando la propiedad 3 anterior: \( B B^{-1} = I_n \) y \( A^{-1} A = I_n \)
\( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) = I_n + B A - A^{-1}B^{-1} - I_n\)
Simplifica el lado derecho
\( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) = B A - A^{-1}B^{-1} \)
Usa el hecho de que \( B A = C \) y también la propiedad de la inversa del producto de matrices \( (B A)^{-1} = A^{-1}B^{-1} \) para reescribir la expresión dada como
\( (B - A^{-1})(B^{-1} + A) = C - C^{-1} \)
Más Referencias y Enlaces