Un conjunto de vectores es ortonormal si cada vector es un vector unitario (su longitud o norma es igual a \( 1\)) y todos los vectores del conjunto son ortogonales entre sí. Por lo tanto, una base es ortonormal si el conjunto de vectores en la base es ortonormal. Los vectores en un conjunto de vectores ortogonales son linealmente independientes.
Ejemplo 1
Demuestre que los vectores \( \textbf i = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix} \) ,
\( \textbf j = \begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix} \) y
\( \textbf k = \begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix} \) forman una base ortonormal.
Solución al Ejemplo 1
Demuestre que el producto interno de cada par de vectores es igual a 0.
\( \textbf i \cdot \textbf j = (1)(0)+(0)(1)+(0)(0) = 0 \)
\( \textbf i \cdot \textbf k = (1)(0)+(0)(0)+(0)(1) = 0 \)
\( \textbf j \cdot \textbf k = (0)(0)+(1)(0)+(0)(1) = 0 \)
Por lo tanto, los tres vectores son ortogonales y también linealmente independientes.
Demuestre que la longitud o norma de cada vector es igual a 1.
\( ||i|| = \sqrt {1^2+0^2+0^2} = \sqrt 1 = 1 \)
\( ||j|| = \sqrt {0^2+ 1^2+0^2} = \sqrt 1 = 1 \)
\( ||k|| = \sqrt {0^2+ 0^2+1^2} = \sqrt 1 = 1 \)
Los tres vectores son ortogonales entre sí y la longitud de cada uno es igual a 1; por lo tanto, forman una base ortonormal.
Ejemplo 2
a) Demuestre que los vectores \( \; \textbf u = K \begin{bmatrix}
1\\
0 \\
2
\end{bmatrix} \) ,
\( \; \textbf v = L \begin{bmatrix}
4 \\
1 \\
-2
\end{bmatrix} \) y \( \; \textbf w = M \begin{bmatrix}
-2 \\
10 \\
1
\end{bmatrix} \), donde \( K \), \( L \) y \( M \) son constantes reales, son ortogonales.
b) Encuentre valores positivos para las constantes \( K \), \( L \) y \( M \) de modo que los vectores \( \textbf u \) , \( \textbf v \) y \( \textbf w \) formen una base ortonormal.
Solución al Ejemplo 2
a)
Calcule el producto interno de cada par de vectores.
\( \textbf u \cdot \textbf v = KL(1)(4)+KL(0)(1)+KL(2)(-2) = 4 KL - 4 KL = 0 \)
\( \textbf u \cdot \textbf w = KM(1)(-2)+KM(0)(10)+KM(2)(1) = -2 KM + 2 KM = 0 \)
\( \textbf v \cdot \textbf w = LM(4)(-2)+LM(1)(10)+LM(-2)(1) = -8LM + 10 LM - 2LM = 0 \)
Por lo tanto, los vectores \( \textbf u \), \( \textbf v \) y \( \textbf w \) son ortogonales y linealmente independientes.
b)
Ahora necesitamos encontrar la longitud (o norma) de cada vector e igualarla a \( 1 \).
\( ||\textbf u|| = \sqrt {K^2 + 0^2 + (2K)^2} = 1 \)
lo que da la ecuación
\( \sqrt {5 K^2} = 1 \)
Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior y resuelva para \( K \) positivo.
\( 5 K^2 = 1 \) da \( K = \dfrac{1}{\sqrt 5} \)
\( ||\textbf v|| = \sqrt {(4L)^2 + L^2 + (-2L)^2} = 1 \)
lo que da la ecuación
\( \sqrt {21 L^2} = 1 \)
Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior y resuelva para \( L \) positivo.
\( 21 L^2 = 1 \) da \( L = \dfrac{1}{\sqrt {21}} \)
\( ||\textbf w|| = \sqrt {(-2M)^2 + (10M)^2 + M^2} = 1 \)
lo que da la ecuación
\( \sqrt {105 M^2} = 1 \)
Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior y resuelva para \( M \) positivo.
\( 105 M^2 = 1 \) da \( M = \dfrac{1}{\sqrt {105}} \)
Ejemplo 3
Demuestre que los vectores \( \textbf u =
\begin{bmatrix}
\sin(\theta) \cos (\phi) \\
\sin(\theta) \sin (\phi) \\
\cos (\theta)
\end{bmatrix}
\) ,
\( \textbf v =
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) \cos (\phi) \\
\cos(\theta) \sin (\phi) \\
-\sin (\theta)
\end{bmatrix}
\) y
\( \textbf w =
\begin{bmatrix}
-\sin (\phi) \\
\cos (\phi) \\
0
\end{bmatrix}
\) forman una base ortonormal.
Solución al Ejemplo 3
En el ejemplo 6 de vectores ortogonales, se ha demostrado que los vectores \( \textbf u \), \( \textbf v \) y \( \textbf w \) dados arriba son ortogonales y, por lo tanto, linealmente independientes.
Ahora necesitamos demostrar que la norma de cada vector es igual a \( 1 \).
\( ||\textbf u || = \sqrt { (\sin(\theta) \cos (\phi))^2 +(\sin(\theta) \sin (\phi))^2 +(\cos (\theta))^2 } \)
Expanda
\( ||\textbf u || = \sqrt { \sin^2(\theta) \cos^2 (\phi) + \sin^2(\theta) \sin^2 (\phi) +\cos^2 (\theta)) } \)
Factorice \( \sin^2(\theta) \) del primer y segundo término del radicando
\( ||\textbf u || = \sqrt { \sin^2(\theta) [ \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) ] +\cos^2 (\theta)) } \)
Use la identidad trigonométrica \( \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) = 1\) para simplificar lo anterior a
\( ||\textbf u || = \sqrt { \sin^2(\theta) +\cos^2 (\theta)) } \)
Use la identidad trigonométrica \( \cos^2 (\theta) + \sin^2 (\theta) = 1\) para simplificar lo anterior a
\( ||\textbf u || = \sqrt 1 = 1 \)
\( ||\textbf v || = \sqrt { (\cos(\theta) \cos (\phi))^2 +(\cos(\theta) \sin (\phi))^2 +(-\sin (\theta))^2 } \)
Expanda
\( ||\textbf v || = \sqrt { \cos^2(\theta) \cos^2 (\phi) + \cos^2(\theta) \sin^2 (\phi) +\sin^2 (\theta)) } \)
Factorice \( \cos^2(\theta) \) del primer y segundo término del radicando
\( ||\textbf v || = \sqrt { \cos^2(\theta) [ \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) ] +\sin^2 (\theta)) } \)
Use la identidad trigonométrica \( \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) = 1\) para simplificar lo anterior a
\( ||\textbf v || = \sqrt { \cos^2(\theta) +\sin^2 (\theta)) } \)
Use la identidad trigonométrica \( \cos^2 (\theta) + \sin^2 (\theta) = 1\) para simplificar lo anterior a
\( ||\textbf v || = \sqrt 1 = 1 \)
\( ||\textbf w || = \sqrt { (-\sin (\phi))^2 +(\cos (\phi))^2 + 0^2 }\)
Simplifique
\( ||\textbf w || = \sqrt { \sin^2 (\phi) + \cos^2 (\phi) } \)
Use la identidad trigonométrica \( \cos^2 (\phi) + \sin^2 (\phi) = 1\) para simplificar lo anterior a
\( ||\textbf w || = \sqrt 1 = 1 \)
Los vectores \( \textbf u \) , \( \textbf v \) y \( \textbf w \) forman una base ortonormal.