La experiencia demuestra que el trabajo en grupo es muy útil para resolver problemas en general [12]. Cuando el problema presentado a los estudiantes es desafiante, ellos están contentos de trabajar en grupos. De hecho, se demostró que el aprendizaje cooperativo y las actividades metacognitivas tienen efectos positivos en la capacidad de los estudiantes para resolver problemas [19-20]. El trabajo en grupo también prepara a los estudiantes para el futuro, donde tendrán que colaborar en grandes problemas y proyectos.
Se involucran muchas habilidades y factores cuando se resuelven problemas matemáticos genuinos. Los instructores deben comprender y estar familiarizados con estos factores y habilidades. También necesitan diseñar actividades y guiar a los estudiantes para que desarrollen y utilicen estas habilidades. También es posible diseñar problemas que se centren en un número limitado de habilidades y factores.
Los estudiantes desarrollan estas habilidades solo si se lleva a cabo una resolución de problemas matemáticos genuina. Los ejemplos resueltos en los libros de texto dan la idea de que la resolución de problemas es un proceso lineal sin falsos comienzos o intentos ilógicos. Además, la forma en que se presenta la solución no muestra cuánto tiempo y esfuerzo se necesitan para encontrar una solución útil. Incluso los problemas sugeridos al final de un capítulo suelen ser del mismo tipo que los ya resueltos. Los estudiantes pueden comenzar practicando con problemas menos exigentes. Sin embargo, a medida que adquieren más confianza, los problemas deben variarse y ser más exigentes. Los estudiantes deben comprender que incluso cuando no se obtiene una solución al problema, se está produciendo un aprendizaje. Es el tiempo y el esfuerzo dedicados a la búsqueda lo que contribuye al proceso de aprendizaje. Todo el pensamiento que tiene lugar y la organización de los propios pensamientos durante el proceso de resolución de problemas contribuyen al proceso de aprendizaje.
AGRADECIMIENTOEl autor desea agradecer a todos los colegas de UGRU con quienes mantuvo fructíferas discusiones sobre este trabajo.
REFERENCIAS
[1] D. M. Burton, “The History of Mathematics, an Introduction”, McGraw Hill, 2007.
[2] G. Stanic and J. Kilpatrick, “Historical Perspective on Problem Solving in the Mathematics Curriculum”, In R. Charles and E. Silver (Eds.), The teaching and assessing of mathematical problem solving (pp. 1-22), Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1989.
[3] K. Stacey, “The Place of Problem Solving in Contemporary Mathematics Curriculum Documents”, The Journal of Mathematical Behavior, 24, pp.341, 2005.
[4] P. Halmos, “The heart of Mathematics”, American Mathematical Monthly, 87 (1980) (7) , pp. 519-524.
[5] W. H. Cockcroft, “Mathematics Counts”. Report of the Committee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools, London: Her Majesty's Stationery Office, (ED.) 1982.
[6] R. E. Reys, M. M. Lindquist, D. V. Lambdin, N. L. Smith & M. N. Suydam, “helping children learn mathematics”, (6th ed.), John Wiley & Sons, Inc., New York, 2001.
[7] S. D. Schafersman, “An Introduction to Critical Thinking”, http://www.freeinquiry.com/critical-thinking.html
[8] A. H. Schoenfeld, “Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense-Making in Mathematics”, Handbook for Research on Mathematics, Edited by D. D. Grouws, MacMillan, New York, 1992.
[9] H. L. Schoen and R. I. Charles, “Teaching Mathematics Through Problem Solving”, NCTM catalog, 2003.
[10] G. Polya, “How to Solve it: A New Aspect of mathematical Method?”, Seocnd edition, Penguin Books, 1990.
[11] P. S. Wilson, “Research Ideas For the Classroom: High School Mathematics”, Chapter 4, MacMillan, 1993.
[12] A. Dendane, 7th Annual Research Conference, “Problem Based Learning in UGRU”, UAE University, Al Ain, UAE, April 2006.
[13] M. Dugopolski, J. Coburn & A. G. Bluman, “Algebra for College Students”, McGraw Hill, 2006.
[14] J. Metcalfe & A.P. Shimamura, “Metacognition: Knowing about Knowing”, Cambridge, MA:MIT Press, 1994.
[15] R. J. Swartz, A. L. Costa, B. K. Beyer, R. Reagan and B. Kallick, “Thinking Based Learning: Activating Students’ Potential”, Christopher-Gordon Publishers, Norwood, MA, USA, 2007.
[16] R. J. Swartz, “Infusing the Teaching of Thinking Into Content Instruction”, A.L. Costa (Ed), Developing Minds: A Resource Book for Teaching Thinking, Vol. 1, Alexandra, Virginia, 1991.
[17] R. J. Swartz and D. N. Perkins, “Teaching Thinking: Issues and Approaches, Cheltenham, Australia: Hawker Brownlow Education, 1990.
[18] D. Gough, “Thinking About Thinking”, VA: National Association of Elementary School Principals, Alexandria, 1991.
[19] S. L. Kong, The Korean Journal of Thinking and Problem Solving, “Using Thinking Skills to Intrinsically Motivate Effective Learning: An Observation From a Teacher Education Classroom”, 16(1), pp 75-89, 2006.
[20] B. Kramarski & Z. R. Mevarech, “Enhancing Mathematical Reasoning in the Classroom: The Effects of Cooperative Learning and Metacognitive Training”, American Educational Research Journal, Vol. 40, No. 1, 281-310 (2003).
Primero reescribimos las ecuaciones obtenidas.
S1 t1 = 1400 (1)
1400 + S2 t1 = X (2)
S1 t2 = X + 600 (3)
S2 t2 = 2X - 600
La pregunta del problema 6 es encontrar X y no todas las incógnitas. Usamos las ecuaciones (1) y (2) para escribir
S1 = 1400 / t1 (5) y S2 = (X - 1400) / t1 (6)
A continuación, sustituimos S1 y S2 en las ecuaciones (3) y (4) por sus expresiones en (5) y (6) para escribir
( 1400 / t1 ) t2 = X + 600 (7)
( (X - 1400) / t1 ) t2 = 2X - 600 (8)
Sea T = t2/t1 y escriba las ecuaciones (7) y (8) como sigue
1400 T = X + 600 (9)
X*T - 1400T = 2X - 600 (10)
Ahora terminamos con dos ecuaciones con dos incógnitas que se pueden resolver fácilmente para dar X = 3600 metros.