Las preguntas de divisibilidad se presentan a continuación con soluciones claras y detalladas. Cuando un entero \( n \) se divide por un entero distinto de cero \( m \), el resultado se puede escribir en la forma
\[ n = qm + r \]donde \( n \) es el dividendo, \( m \) es el divisor, \( q \) es el cociente y \( r \) es el resto.
Si un entero positivo \( n \) se divide entre 5, el resto es 3. ¿Cuál de las siguientes expresiones produce un resto de 0 al dividirse entre 5?
A) \( n + 3 \) B) \( n + 2 \) C) \( n - 1 \) D) \( n - 2 \) E) \( n + 1 \)
Si \( n \) deja un resto de 3 al dividirse entre 5, entonces
\[ n = 5k + 3 \]para algún entero \( k \). Sumando 2 a ambos lados se obtiene
\[ n + 2 = 5k + 5 = 5(k + 1) \]Por lo tanto, \( n + 2 \) es divisible por 5 y deja un resto de 0.
Respuesta: B
Si un entero \( n \) es divisible por 3, 5 y 12, ¿cuál es el siguiente entero mayor divisible por los tres números?
A) \( n + 3 \) B) \( n + 5 \) C) \( n + 12 \) D) \( n + 60 \) E) \( n + 15 \)
Si \( n \) es divisible por 3, 5 y 12, entonces debe ser un múltiplo de su mínimo común múltiplo:
\[ \mathrm{mcm}(3,5,12) = 60 \]Por lo tanto,
\[ n = 60k \]El siguiente entero mayor divisible por los tres es
\[ n + 60 = 60(k + 1) \]Respuesta: D
¿Cuál es el entero positivo más pequeño que es múltiplo de 5, 7 y 20?
A) 70 B) 35 C) 200 D) 280 E) 140
El número más pequeño divisible por 5, 7 y 20 es su mínimo común múltiplo:
\[ \mathrm{mcm}(5,7,20) = 140 \]Respuesta: E
Cuando el entero \( n \) se divide entre 8, el resto es 3. ¿Cuál es el resto cuando \( 6n \) se divide entre 8?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Dado que \( n \) deja un resto de 3 al dividirse entre 8,
\[ n = 8k + 3 \]Multiplicando ambos lados por 6:
\[ 6n = 6(8k + 3) = 48k + 18 \]Reescribiendo 18 como \( 16 + 2 \):
\[ 6n = 8(6k + 2) + 2 \]Por lo tanto, el resto es 2.
Respuesta: C
Si \( n \) es un entero, cuando \( (2n + 2)^2 \) se divide entre 4, el resto es
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Primero expandimos la expresión:
\[ (2n + 2)^2 = 4n^2 + 8n + 4 \]Factorizando 4:
\[ (2n + 2)^2 = 4(n^2 + 2n + 1) \]Por lo tanto, la expresión es divisible por 4 y el resto es 0.
Respuesta: A
¿Cuál es el entero positivo de dos dígitos más pequeño divisible por 3 tal que la suma de sus dígitos es 9?
A) 27 B) 33 C) 72 D) 18 E) 90
Sea el número de dos dígitos \( 10x + y \), donde \( x \) e \( y \) son dígitos. La divisibilidad por 3 implica
\[ 10x + y = 3k \]La suma de los dígitos es 9:
\[ x + y = 9 \]Despejando \( y \) se obtiene \( y = 9 - x \). Sustituyendo:
\[ 10x + 9 - x = 3k \] \[ 9x + 9 = 3k \] \[ x = \frac{k - 3}{3} \]Probando valores enteros de \( k \), el dígito válido más pequeño es \( x = 1 \), lo que da \( y = 8 \). El número es 18.
Respuesta: D
¿Cuál de los siguientes números no es divisible por 3?
A) 339 B) 342 C) 552 D) 1111 E) 672
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
A) \( 3 + 3 + 9 = 15 \) (divisible por 3)
B) \( 3 + 4 + 2 = 9 \) (divisible por 3)
C) \( 5 + 5 + 2 = 12 \) (divisible por 3)
D) \( 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \) (no divisible por 3)
Por lo tanto, 1111 no es divisible por 3.
Respuesta: D
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