Factorización Prima de Números Enteros

A continuación se presentan ejemplos que muestran cómo encontrar los factores primos de un entero positivo. También puedes usar la calculadora de factorización prima para verificar tus respuestas. Se incluyen preguntas de práctica y soluciones completas.

Factores

Los factores de un entero positivo \( n \) son todos los enteros positivos que dividen \( n \) con residuo cero.

Por ejemplo, \( 2, 3, 4 \) y \( 6 \) son factores de \( 12 \) porque:

\[ \begin{aligned} 12 \div 2 &= 6 \\ 12 \div 3 &= 4 \\ 12 \div 4 &= 3 \\ 12 \div 6 &= 2 \end{aligned} \]

Estos factores también aparecen cuando \( 12 \) se escribe como un producto:

\[ 12 = 6 \times 2 = 4 \times 3 \]

Factorización Prima

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo entero positivo mayor que 1 se puede escribir exactamente de una manera como un producto de números primos.

Un número primo es un entero positivo mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: \( 1 \) y sí mismo.

Los primeros números primos son:

\[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, \ldots \]

Cómo encontrar factores primos:
Comienza dividiendo por \( 2 \) tanto como sea posible, luego continúa con los siguientes números primos \( 3, 5, 7, \ldots \) hasta que el cociente restante sea primo.

Ejemplos

Ejemplo 1

Factoriza \( 4 \) en números primos.

\[ 4 = 2 \times 2 = 2^2 \]

Ejemplo 2

Factoriza \( 20 \) en números primos.

\[ \begin{aligned} 20 &= 2 \times 10 \\ &= 2 \times 2 \times 5 \\ &= 2^2 \times 5 \end{aligned} \]

Ejemplo 3

Factoriza \( 100 \) en números primos.

\[ \begin{aligned} 100 &= 2 \times 50 \\ &= 2 \times 2 \times 25 \\ &= 2^2 \times 5^2 \end{aligned} \]

Ejemplo 4

Factoriza \( 1020 \) en números primos.

\[ \begin{aligned} 1020 &= 2 \times 510 \\ &= 2^2 \times 255 \\ &= 2^2 \times 3 \times 85 \\ &= 2^2 \times 3 \times 5 \times 17 \end{aligned} \]

Ejemplo 5

Factoriza \( 634 \) en números primos.

\[ 634 = 2 \times 317 \]

Ejemplo 6

Factoriza \( 720 \) en números primos.

\[ \begin{aligned} 720 &= 2 \times 360 \\ &= 2^2 \times 180 \\ &= 2^3 \times 90 \\ &= 2^4 \times 45 \\ &= 2^4 \times 3^2 \times 5 \end{aligned} \]

Preguntas de Práctica

Parte A

¿Cuál de las siguientes no es una factorización prima?

\[ \begin{aligned} \text{a)}&\; 2 \times 2 \times 4 \quad \text{b)}\; 3 \times 3 \times 5 \times 9 \\ \text{c)}&\; 3 \times 3 \times 5 \times 17 \quad \text{d)}\; 2 \times 5 \times 5 \times 21 \\ \text{e)}&\; 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 41 \end{aligned} \]

Parte B

Factoriza cada número en números primos:

\[ 18,\; 300,\; 123,\; 1200,\; 1450 \]

Soluciones

Parte A

  1. \( \quad 4 \) no es un número primo, por lo tanto \( 2 \times 2 \times 4 \) no es una factorización prima
  2. \( \quad 9 \) no es un número primo, por lo tanto \( 3 \times 3 \times 5 \times 9 \) no es una factorización prima
  3. \( \quad 3 \times 3 \times 5 \times 17 \) es una factorización prima porque \( 3, 5 \) y \( 17 \) son números primos
  4. \( \quad 21 \) no es un número primo, por lo tanto \( 2 \times 5 \times 5 \times 21 \) no es una factorización prima
  5. \( \quad 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 41 \) es una factorización prima porque \( 2, 3, 5 \) y \( 41 \) son números primos.

Parte B

\[ \begin{aligned} 18 &= 2 \times 3^2 \\ 300 &= 2^2 \times 3 \times 5^2 \\ 123 &= 3 \times 41 \\ 1200 &= 2^4 \times 3 \times 5^2 \\ 1450 &= 2 \times 5^2 \times 29 \end{aligned} \]

Más Referencias