Se utilizan varios métodos para encontrar ecuaciones de parábolas dadas sus gráficas. Se presentan ejemplos junto con sus soluciones y ejercicios detallados.
Ejemplo 1 Gráfica de una parábola dadas las intersecciones en x e y
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 1
La gráfica tiene dos intersecciones x en \( x = - 1 \) y \( x = 2 \). Por tanto, la ecuación de la parábola se puede escribir como
\( y = a(x + 1)(x - 2) \)
Ahora necesitamos encontrar el coeficiente \( a \) usando la intersección y en \( (0,-2) \)
\( -2 = a(0 + 1)(0 - 2) \)
Resuelva la ecuación anterior para \( a \) para obtener
\(a = 1 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se da arriba es
\( y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2\)
Ejemplo 2 Gráfica de una parábola dado un vértice y un punto
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 2
La gráfica tiene un vértice en \( (2,3) \). Por tanto, la ecuación de la parábola en forma de vértice se puede escribir como
\( y = a(x - 2)^2 + 3 \)
Ahora usamos la intersección y en \( (0,- 1) \) para encontrar el coeficiente \( a \).
\( - 1 = un(0 - 2) + 3\)
Resuelva lo anterior para \( a \) para obtener
\(a = 2 \)
La ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra arriba es
\( y = 2(x - 2)^2 + 3\)
Ejemplo 3 Gráfica de una parábola dados tres puntos
Encuentra la ecuación de la parábola cuya gráfica se muestra a continuación.
Solución al ejemplo 3
La ecuación de una parábola con eje vertical se puede escribir como
\( y = ax^2 + bx + c \)
Tres puntos en la gráfica dada de la parábola tienen coordenadas \( (-1,3), (0,-2) \) y \( (2,6) \). Usa estos puntos para escribir el sistema de ecuaciones.
\(
\begin{array}{lcl} a (-1)^2 + b (-1) + c & = & 3 \\\\ a (0)^2 + b (0) + c & = & -2 \\\\ a (2)^2 + b (2) + c & = & 6 \end{array}
\)
Simplifica y reescribe como
\(
\begin{array}{lcl} a - b + c & = & 3 \\ c & = & -2 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array}
\)
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3 anterior para obtener la solución.
\( a = 3 , b=-2 \) y \(c=-2 \)
La ecuación de la parábola viene dada por
\(y = 3 x^2 - 2 x - 2 \)
Ejemplo 4 Gráfica de una parábola dado el diámetro y la profundidad
Encuentre la ecuación del reflector parabólico con diámetro D = 2,3 metros y profundidad d = 0,35 metros y las coordenadas de su foco.
Solución al ejemplo 4
El reflector parabólico tiene un vértice en el origen \( (0,0) \), por lo tanto su ecuación viene dada por
\( y = \dfrac{1}{4p} x^2 \)
El diámetro y la profundidad dados pueden interpretarse como un punto de coordenadas \((D/2, d) = (1,15, 0,35) \) en la gráfica del reflector parabólico. De ahí la ecuación
\( 0,35 = \dfrac{1}{4p} (1,15)^2 \)
Resuelva la ecuación anterior para \( p \) para encontrar
\(
p = 0,94
\)
La ecuación de la parábola viene dada por
\(y = 0,26 x^2\)
El foco del reflector parabólico está en el punto
\( (p , 0) = (0,94 , 0 ) \)
Encuentra la ecuación de la parábola en cada una de las siguientes gráficas.
Ecuación de una parábola.
Calculadora de parábola de tres puntos.
Tutorial sobre ¿Cómo funcionan las antenas parabólicas?
Tutorial sobre cómo encontrar el foco de las antenas parabólicas.