Aplicaciones de la División Sintética de Polinomios

La división sintética es un método rápido y eficiente utilizado para factorizar polinomios y simplificar funciones racionales. En esta lección, verás ejemplos resueltos seguidos de preguntas de práctica y soluciones detalladas.

También puedes usar esta calculadora de división sintética para verificar tus resultados.

Factorizar Polinomios Usando División Sintética

Ejemplo 1

  1. Demuestra que \(x - 1\) y \(x + 3\) son factores del polinomio
    \[ P(x) = x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12. \]
  2. Usa la división sintética para factorizar \(P(x)\) completamente.

Solución

a) Usando el teorema del factor:

Para \(x - 1 = x - k\), tenemos \(k = 1\).

\[ P(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 7(1)^2 - 8(1) + 12 = 0. \]

Por lo tanto, \(x - 1\) es un factor de \(P(x)\).

Para \(x + 3 = x - k\), tenemos \(k = -3\).

\[ P(-3) = (-3)^4 + 2(-3)^3 - 7(-3)^2 - 8(-3) + 12 = 0. \]

Por lo tanto, \(x + 3\) también es un factor de \(P(x)\).

b) Divide \(P(x)\) entre \(x - 1\) usando división sintética.

División sintética de P(x) entre x-1
\[ \frac{P(x)}{x - 1} = x^3 + 3x^2 - 4x - 12. \]
\[ P(x) = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 4x - 12). \]

Ahora divide el cociente \( x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \) entre \(x + 3\) usando división sintética.

División sintética del cúbico entre x+3
\[ \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x + 3} = x^2 - 4. \]
Escribimos \( P(x) \) en forma factorizada de la siguiente manera:
\[ P(x) = (x - 1)(x + 3)(x^2 - 4). \]

Usando la diferencia de cuadrados para factorizar \( x^2 - 4 \) y escribir \( P(x) \) en forma factorizada completa:

\[ P(x) = (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 2). \]

Simplificar Funciones Racionales Usando División Sintética

Una función racional de la forma \(\frac{P(x)}{D(x)}\) se puede simplificar cuando el numerador y el denominador tienen factores comunes.

Ejemplo 2

  1. Demuestra que \(x - 2\) es un factor de
    \[ P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 14 \quad \text{y} \quad D(x) = x^2 - 4. \]
  2. Simplifica
    \[ \frac{P(x)}{D(x)} = \frac{x^3 + 2x^2 - x - 14}{x^2 - 4}. \]

Solución

a)

\[ P(2) = 8 + 8 - 2 - 14 = 0, \quad D(2) = 4 - 4 = 0. \]

Por lo tanto, \(x - 2\) es un factor común.

b)

Usa división sintética para dividir \( P(x) \) entre \( D(x) \): Ejemplo de división sintética
\[ P(x) = (x - 2)(x^2 + 4x + 7), \quad x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). \]
\[ \frac{P(x)}{D(x)} = \frac{(x - 2)(x^2 + 4x + 7)}{(x - 2)(x + 2)}. \]
\[ \frac{P(x)}{D(x)} = \frac{x^2 + 4x + 7}{x + 2}. \]

Dado que \(x + 2\) no es un factor del numerador, la función racional no se puede simplificar más.

Más Preguntas

Parte A

¿Cuáles de los siguientes son factores de

\[ P(x) = x^4 - 4x^3 - 31x^2 + 70x? \]
  1. \(x + 2\)
  2. \(x - 7\)
  3. \(x - 3\)
  4. \(x + 5\)
Parte B
  1. Encuentra \(r\) para que \(P_1(x) = x^3 + r x^2 - x - 4\) tenga factor \(x - 1\).
  2. Encuentra \(r\) y \(s\) para que \(P_2(x) = x^5 - r x^4 - 3x^3 + 3x + s\) tenga factores \(x + 1\) y \(x - 2\).
Parte C
  1. Factoriza \(P_1(x) = x^3 + 3x^2 - 10x - 24\), dado el factor \(x + 4\).
  2. Factoriza \(P_2(x) = x^4 - x^3 - 22x^2 + 16x + 96\), dados los factores \(x + 2\) y \(x - 3\).
Parte D
  1. Simplifica \(F_1(x) = \frac{x^3 + 5x^2 - 7x - 35}{x^2 + 4x - 5}\), dado el factor común \(x + 5\).
  2. Simplifica \(F_2(x) = \frac{x^4 - 3x^3 - 16x^2 - 6x - 36}{x^2 - 3x - 18}\), dados los factores comunes \(x - 6\) y \(x + 3\).

Soluciones a las Preguntas Anteriores

Parte A
Dado \( P(x) = x^4-4x^3-31x^2+70x \),
Para que un término lineal de la forma \( x - k \) sea un factor de \( P(x) \), necesitamos que \( P(k) = 0 \)
a)
Verifica si \( x + 2 \) es un factor de \( P(x) \).
\( x + 2 = x - k \) da \( k = - 2 \) \[ P(-2) = (-2)^4-4(-2)^3-31(-2)^2+70(-2) = -126 \] Por lo tanto, \( x + 2 \) NO ES un factor de \( P(x) \)

b)
Verifica si \( x - 7 \) es un factor de \( P(x) \).
\( x - 7 = x - k \) da \( k = 7 \) \[ P(7) = (7)^4-4(7)^3-31(7)^2+70(7) = 0\] Por lo tanto, \( x - 7 \) ES un factor de \( P(x) \)

c)
Verifica si \( x - 3 \) es un factor de \( P(x) \).
\( x - 3 = x - k \) da \( k = 3 \) \[ P(3) = (3)^4-4(3)^3-31(3)^2+70(3) = -96\] Por lo tanto, \( x - 3\) NO ES un factor de \( P(x) \)

d)
Verifica si \( x + 5 \) es un factor de \( P(x) \).
\( x + 5= x - k \) da \( k = - 5 \) \[ P(-5) = (-5)^4-4(-5)^3-31(-5)^2+70(-5) = 0\] Por lo tanto, \( x + 5\) ES un factor de \( P(x) \)

Parte B
a)
Para que el polinomio \( P_1(x) = x^3 + r x^2 - x - 4 \) tenga \( x - 1 \) como factor y según el teorema del factor necesitamos que \( P_1(1) = 0 \)
Por lo tanto, la ecuación \[ (1)^3 + r (1)^2 - (1) - 4 = 0 \] Simplifica
\( r - 4 = 0 \)
\( r = 4 \)

b)
Para que el polinomio \( P_2(x) = x^5- r x^4-3x^3+3x + s \) tenga \( (x + 1) \) y \( x - 2 \) como factores y según el teorema del factor necesitamos que \( P_2(-1) = 0 \) y \( P_2(2) = 0 \).
Por lo tanto, el sistema de dos ecuaciones \[ (-1)^5- r (-1)^4-3(-1)^3+3(-1) + s = 0 \quad \text{y} \quad (2)^5- r (2)^4-3(2)^3+3(2) + s = 0 \] Simplifica \[ - r + s - 1 = 0 \quad \text{y} \quad - 16 r + s + 14 = 0 \] Resuelve el sistema de ecuaciones lineales anterior para obtener: \( r = 1\) y \( s = 2\)

Parte C
a)
Usa división sintética para dividir \( P_1(x) \) entre \( (x + 4) \)

Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética a Parte C
El resultado de la división se puede escribir como una multiplicación, factorizando \( P_1(x) \) de la siguiente manera \[ P_1(x) = (x^2-x-6)(x+4)\] Factoriza el término cuadrático \( x^2-x-6 \) y por lo tanto factoriza completamente \( P_1(x) \) de la siguiente manera \[ P_1(x) = (x^2-x-6)(x+4) = (x-3)(x+2)(x+4)\] b)
Usa división sintética para dividir \( P_2(x) \) entre \( (x + 2) \)

Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética b1 Parte C

El resultado de la división se puede escribir como una multiplicación, factorizando \( P_2(x) \) de la siguiente manera \[ P_2(x) = (x^3-3x^2-16x+48)(x+2) \quad \quad (I)\] Usa división sintética para dividir el cociente de la división anterior \( \quad x^3-3x^2-16x+48 \quad \) entre \( (x - 3) \)
Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética b2 Parte C

El resultado de la división se puede escribir como una multiplicación, factorizando \( x^3-3x^2-16x+48 \) de la siguiente manera \[ x^3-3x^2-16x+48 = (x^2-16)(x-3) \] Factoriza completamente lo anterior y escribe como \[ x^3-3x^2-16x+48 = (x-4)(x+4)(x-3) \] Sustituye lo anterior en \( (I) \) y factoriza \( P_2(x) \) completamente de la siguiente manera \[ P_2(x) = (x-4)(x+4)(x-3)(x+2) \]



Parte D
a)
Usa división sintética para dividir el numerador de \( F_1(x) \) entre \( (x + 5) \)

Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética a Parte D
Factoriza el numerador, usando el resultado de la división sintética anterior, y el denominador, que es una expresión cuadrática, de \( F_1(x) \). \[ F_1(x) = \dfrac{(x^2-7)(x+5)}{(x -1)(x+5)} \] Divide el numerador y el denominador entre \( (x + 5) \) y simplifica \[ F_1(x) = \dfrac{x^2-7}{x -1} \] Es fácil verificar que \( x - 1 \) no es un factor de \( x^2-7 \) y por lo tanto no podemos simplificar más \( F_1(x) \).

b)
Usa división sintética para dividir el numerador de \( F_2(x) \) entre \( (x - 6) \)

Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética b1 Parte D
por lo tanto, factoriza el numerador \[ F_2(x) = \dfrac{(x^3+3x^2+2x+6)(x-6)}{x^2-3x-18} \] Usa división sintética para dividir \( x^3+3x^2+2x+6 \) en el numerador anterior entre \( (x + 6) \)
Solución de la pregunta de aplicaciones de división sintética b2 Parte D
por lo tanto, factoriza el numerador \[ F_2(x) = \dfrac{(x^2+2)(x+3)(x-6)}{x^2-3x-18} \] Factoriza la expresión cuadrática \( x^2-3x-18\) \[ F_2(x) = \dfrac{(x^2+2)(x+3)(x-6)}{(x+3)(x-6)} \] Divide el numerador y el denominador entre \( (x+3)(x-6) \) y simplifica \[ F_2(x) = x^2+2 \]

Más referencias y enlaces a funciones polinómicas