Funciones cuadráticas en el formato estándar

Funciones cuadráticas en forma normal

f (x) = a (x - h)2 + k

y las propiedades de sus gráficas como vértice, x e y intercepta y se exploran, de forma interactiva, usando un applet.

La gráfica de una función cuadrática es "U" y se llama una parábola. La exploración se realiza cambiando los valores de los 3 coeficientes a, h y k. Una vez que termine el presente tutorial, puede que quiera ir a través de otro tutorial sobre graficar funciones cuadráticas.

Esta forma de la función cuadrática es también llamada la forma de vértice.

A - Vertex, valores máximos y mínimos de una función cuadrática


f (x) = a (x - h) 2 + k


El término (x - h) 2 es un cuadrado, por lo tanto, ya sea positivo o igual a cero.

(x - h) 2 >= 0

Si se multiplica ambos lados de la desigualdad anterior por el coeficiente a, existen dos posibilidades a considerar, una es positiva o negativa.

Caso 1: a es positivo
a (x - h) 2 >= 0.

Añadir k para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad

a (x - h) 2 + k >= k.

El lado izquierdo representa f (x), por lo tanto, f (x)> = k. Esto significa que k es el valor mínimo de la función f.

Caso 2: a es negativo
a (x - h) 2 <= 0.

Añadir k para los lados izquierdo y derecho de la desigualdad

a (x - h) 2 + k <= k.

El lado izquierdo representa f (x), por lo tanto, f (x) <= k. Esto significa que k es el valor máximo de la función f.

Tenga en cuenta también que k = f (h), por lo tanto, el punto (h, k) representa un punto mínimo cuando es a positivo y un punto máximo cuando es a negativa. Este punto se llama el vértice de la gráfica de f.

Ejemplo: Encuentre el vértice de la gráfica de cada función y lo identifican como un punto mínimo o máximo.
a) f (x) = - (x + 2) 2 - 1
b) f (x) =-x 2 + 2
c) f (x) = 2 (x - 3) 2

a) f (x) = - (x + 2)2 - 1 = - (x - (-2)) 2 - 1
a = -1, h = -2, k = -1. El vértice está en (-2, -1) y es un punto máximo ya que es negativo.

b) f (x) =-x 2 + 2 = - (x - 0) 2 + 2
a = -1, h = 0 y k = 2. El vértice está en (0,2) y es un punto máximo ya que es negativo.

c) f (x) = 2 (x - 3) 2 = 2 (x - 3) 2 + 0
a = 2, h = 3 y k = 0. El vértice está en (3,0) y es un punto mínimo desde que es positivo.

Tutorial interactivo
El botón de abajo comienza el applet en una gran pantalla por separado.


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1 - Haga clic en el botón de arriba ", haga clic aquí para empezar" para iniciar el applet y maximizar la ventana obtenidos.

2 - Utilice los controles deslizantes en el panel izquierdo del applet para establecer a = -1, h = -2 y k = 1. Compruebe la posición del vértice y si es un mínimo o un punto máximo. Comparar a la parte a) en el ejemplo anterior.

3 - Utilice los controles deslizantes para establecer a = -1, h = 0 y k = 2. Compruebe la posición del vértice y si es un mínimo o un punto máximo. Comparar a la parte b) en el ejemplo anterior.

4 - Establecer a = 2, h = 3 y k = 0. Compruebe la posición del vértice y si es un mínimo o un punto máximo. Comparar a la parte c) en el ejemplo anterior.

5 - Establezca h, k para algunos valores y los valores positivos solamente. Compruebe que el vértice es siempre un punto mínimo.

6 - Establecer h y k para algunos valores y los valores negativos únicamente. Compruebe que el vértice es siempre un punto máximo.

B - x intersecciones de la gráfica de una función cuadrática en la forma estándar


La x intersecciones de la gráfica de una función cuadrática f dada por
f (x) = a (x - h) 2 + k

son las soluciones reales, si existen, de la ecuación cuadrática
a (x - h) 2 + k = 0


a (x - h) 2= -k añadir -k a ambos lados

(x - h) 2 = -k / a dividir ambos lados por una

La ecuación anterior tiene soluciones reales si -k / a es positivo o cero.

Las soluciones están dadas por

x1 = h + sqrt (-k / a)
x2 = h - sqrt (-k / a)

Ejemplo: Encuentra la x intersecciones de la gráfica de cada función se indican a continuación

a) f (x) = -2 (x - 3) 2 + 2
b) g (x) = - (x + 2 2
c) h (x) = 4 (x - 1) 2 + 5

a) Para encontrar la x intercepta, se resuelve

-2 (X - 3) 2 + 2 = 0

-2 (X - 3) 2 = -2

(x - 3) 2 = 1

dos soluciones reales x1 = 3 + sqrt (1) = 4 x2 = 3 - sqrt (1) = 2

La gráfica de la función en la parte a) tiene dos intersecciones se x en los puntos (4,0) y (2,0)

b) Resolvemos

- (x + 2) 2 = 0

que es repetida solución real x1 = - 2

La gráfica de la función en la parte b) tiene una x en la intersección (-2,0).

c) Se resuelve

4 (x - 1) 2 + 5 = 0

-k / a = -5 / 4 es negativo. La ecuación anterior no tiene soluciones reales y la gráfica de la función h no tiene x interceptar.

Tutorial interactivo

1 - Volver a la ventana del applet y establecer los valores de a, h y k para cada uno de los ejemplos de las partes a, b y c anteriores y comprobar la intersección de la x de los gráficos correspondientes.

2 - Utilice la ventana del applet para encontrar cualquier x intercepta con las siguientes funciones. Utilice el método de análisis descrito en el ejemplo anterior para encontrar el x intercepta y comparar los resultados.
a) f (x) = 5 (x - 3) 2 + 3
b) g (x) = - (x + 2) 2 + 1
c) h (x) = 3 (x - 1) 2

3 - Utilización de la ventana del applet y la serie a y k de valores tal que -k / a <0. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?

4 - Utilice la ventana del applet y k a cero. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?

5 - Utilice la ventana del applet y la serie a y k de valores tal que -k / a> 0. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?

C - De la forma de vértice a la forma general con a, b y c.


La reescritura de la forma de vértice de una función cuadrática en la forma general se lleva a cabo mediante la ampliación del cuadrado en la forma de vértice y agrupar términos semejantes.

Ejemplo: Vuelva a escribir f (x) = - (x - 2)2 - 4 en forma general con los coeficientes A, B y C.

Ampliar f (x) y el grupo de términos similares

f (x) = - (x - 2) 2 - 4 = - (x 2 -4 x + 4) - 4

= - X 2 + 4 x - 8

Un tutorial sobre cómo encontrar la ecuación de una función cuadrática dada su gráfica se puede encontrar en este sitio.

Más referencias sobre las funciones cuadráticas y sus propiedades.




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Actualizado: 27 de noviembre de 2007 (A Dendane)

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