Funciones cuadráticas (General Form)

Las funciones cuadráticas y las propiedades de sus gráficas como vértice y x e intercepta y se exploran de forma interactiva utilizando applets.








También puede utilizar este applet para explorar la relación entre la X intersecciones de la gráfica de una función cuadrática f (x) y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente f (x) = 0. La exploración se realiza por el cambio de valores, de 3 de coeficientes A, B y C incluidas en la definición de f (x).

Una vez que termine el presente tutorial, usted puede desear ir a través de tutoriales sobre las funciones cuadráticas y graficar funciones cuadráticas.

Si es necesario, papel cuadriculado gratis está disponible.

A - Definición de una función cuadrática


Una función cuadrática f es una función de la forma
f (x) = ax 2 + bx + c

donde a, b y c son números reales y a no es igual a cero. La gráfica de la función cuadrática se llama una parábola. Se trata de una "U" curva de forma que puede abrir hacia arriba o abajo dependiendo del signo de a. coeficiente de

Ejemplos de funciones cuadráticas

  1. f (x) =-2x 2 + x - 1
  2. f (x) = x 2 + 3x + 2

Tutorial interactivo (1)
El botón de abajo comienza el applet en una gran pantalla por separado.


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  • Haga clic en el botón de arriba "click here to start" para iniciar el applet y maximizar la ventana obtenidos.
  • Utilice las barras de desplazamiento en el panel izquierdo de la ventana del applet para establecer los coeficientes A, B y C a los valores en los ejemplos anteriores y observar el gráfico obtenido. Tenga en cuenta que la gráfica correspondiente a la parte a) es una parábola de apertura hacia abajo desde el coeficiente a es negativo y la gráfica correspondiente a la parte b) es una parábola desde la apertura de coeficientes a es positivo. Usted puede cambiar los valores de los coeficientes a, b y c y observar las gráficas obtenidas.
  • Establecer una a cero y explicar el gráfico obtenido. Término que en el ax 2 + bx + c da la forma parabólica?

    Respuestas


B - Formulario estándar de una función cuadrática y vértice


Cualquier función cuadrática puede ser escrito en el formulario normalizado

f (x) = a (x - h) 2 + k


en donde h y k se dan en términos de los coeficientes a, b y c.

Comencemos con la función cuadrática en forma general y completa de la plaza de reescribir en forma estándar.
  • Dada la función f (x)
    f (x) = ax 2 + bx + c

  • factor de coeficiente a de los términos en x 2 y x
    f (x) = a [x 2 + (b / a) x] + c

  • de sumar y restar (b/2a) 2 dentro de los paréntesis
    f (x) = a [x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2 - (b/2a) 2] + c

  • Tenga en cuenta que
    x 2 + (b / a) x + (b/2a) 2

  • puede ser escrito como
    [x + (b/2a)] 2

  • Ahora escribir f de la siguiente manera
    f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - a (b/2a) 2 + c

  • que puede ser escrito como
    f (x) = a [x + (b/2a)] 2 - (b 2 / 4a) + c

  • Esta es la forma estándar de una función cuadrática con la
    h = b / (2a)

    k = c - b 2 / 4a


Cuando se grafica una función cuadrática, la gráfica o bien tendrá un máximo o un punto mínimo llamado el vértice. Las coordenadas x e y del vértice están dadas por H y K, respectivamente.

Ejemplo: Escribir la función cuadrática f dada por f (x) = -2x 2 + 4x + 1 en la forma estándar y encontrar el vértice de la gráfica.

la tuberia de recoleccion de la Solución
  • dada la función
    f (x) = -2x 2 + 4x + 1

  • factor de -2 a cabo
    f (x) = -2 (x 2 - 2x) + 1

  • Ahora dividimos el coeficiente de x que es de -2 por 2 y que le da -1.
    f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2 - (-1) 2) + 1

  • sumar y restar (-1) 2 dentro de los paréntesis
    f (x) = -2 (x 2 - 2x + (-1) 2) + 2 + 1

  • grupo como los términos y escribir en la forma estándar
    f (x) = -2 (x - 1) 2 + 3

  • Lo anterior da h = 1 y k = 3.

  • H y K también se puede encontrar usando las fórmulas para H y K obtenido anteriormente.
    h = -b/2a = -4 / (2 *- 2) = 1

    k = c - b 2 / (4a) = 1 - 4 2 / (4 *- 2) = 3

  • El vértice de la gráfica se encuentra en (1,3).

Tutorial interactivo (2)

  • Volver a la ventana del applet y establecer a = -2, b = 4 y c = 1 (los valores utilizados en el ejemplo anterior). Compruebe que la gráfica se abre hacia abajo (a <0) y que el vértice está en el punto (1,3) y es un punto máximo.

  • Utilice la ventana del applet y establecer a = 1, b = -2 y c = 0, f (x) = x 2 - 2x. Compruebe que la gráfica se abre (a> 0) y que el vértice está en el punto (1, -1) y es un punto mínimo.


C - x intersecciones de la gráfica de una función cuadrática



La x intersecciones de la gráfica de una función cuadrática f dada por
f (x) = ax 2 + bx + c

son las soluciones reales, si existen, de la ecuación cuadrática
ax 2 + bx + c = 0


La ecuación anterior tiene dos soluciones reales y por lo tanto la gráfica tiene x intercepta cuando el discriminante D = b 2 - 4ac es positivo. Se ha repetido una solución cuando D es igual a cero. Las soluciones están dadas por las fórmulas de segundo grado

x1 = (-b + sqrt (D)) / 2a

y
x2 = (-b - sqrt (D)) / 2a


Ejemplo: Encuentra la x intersecciones de la gráfica de cada función se indican a continuación

  1. f (x) = x 2 + 2x - 3
  2. g (x) = -x 2 + 2x - 1
  3. h (x) = -2x 2 + 2x - 2

la tuberia de recoleccion de la Solución
  1. Para encontrar la x intercepta, se resuelve

    x 2 + 2x - 3 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 16

    dos soluciones reales:
    x1 = (-2 + sqrt (16)) / (2 * 1) = 1
    y
    x2 = (-2 - sqrt (16)) / (2 * 1) = -3

    La gráfica de la función en la parte a) tiene dos intersecciones se x en los puntos (1,0) y (-3,0)

  2. Resolvemos -x 2 + 2x - 1 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * (-1) * (-1) = 0

    que es repetida soluciones reales x1 = -b/2a = -2/-2 = 1

    La gráfica de la función en la parte b) tiene una x en la intersección (1,0).

  3. Resolvemos -2x 2 + 2x - 2 = 0

    discriminante D = 2 2 - 4 * (-2) * (-2) = -12

    No hay soluciones reales para la ecuación de arriba

    N º x de intersección de la gráfica de la función en la parte c).

Tutorial interactivo (3)

  • Ir a la ventana del applet y establecer los valores de a, b y c para cada uno de los ejemplos de las partes a, b y c anteriores y comprobar el discriminante y la x intersecciones de los gráficos correspondientes.
  • Utilice la ventana del applet para encontrar cualquier x intercepta para las funciones de segundo grado siguiente.
    a) f (x) = x 2 + x - 2
    b) g (x) = 4x 2 + x + 1
    a) h (x) = x 2 - 4x + 4
    Utilice el método de análisis descrito en el ejemplo anterior para encontrar el x intercepta y comparar los resultados.
  • c) Utilizar la ventana del applet y conjunto a, b y c a los valores de tal manera que b 2 - 4ac < 0. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?
  • c) Utilizar la ventana del applet y conjunto a, b y c a los valores de tal manera que b 2 - 4ac = 0. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?
  • c) Utilizar la ventana del applet y conjunto a, b y c a los valores de tal manera que b 2 - 4ac > 0. ¿Cuántos x intersecciones de la gráfica de f (x) tiene?

Respuestas


D - intercepta y de la gráfica de una función cuadrática



La intersección de la gráfica de una función cuadrática es dado por f (0) = c.

Ejemplo: Encontrar la intersección de la gráfica de las funciones de segundo grado siguiente.
  1. f (x) = x 2 + 2x - 3
  2. g (x) = 4x 2 - x + 1
  3. h (x) = -x 2 + 4x + 4
la tuberia de recoleccion de la Solución
  1. f (0) = -3. La gráfica de f tiene interceptar ay en (0, -3).
  2. g (0) = 1. La gráfica de interceptar g tiene ay en (0,1).
  3. h (0) = 4. La gráfica de h ay ha interceptar a (0,4).
Tutorial interactivo (4)
  • Utilice la ventana del applet para comprobar la intersección de las funciones de segundo grado en el ejemplo anterior.
  • Utilice la ventana del applet para comprobar la intersección está en el punto (0, c) para diferentes valores de c.

- E Ejercicios: Encontrar la ecuación de una función cuadrática dada su gráfica


Haga clic en el botón "click here to start" para iniciar el applet. Ahora presione el botón "nuevo gráfico" para generar un nuevo gráfico.


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Como ejercicio se le pide para encontrar la ecuación de la función cuadrática cuya gráfica se muestra en el applet y la escribiré en la forma f (x) = ax 2 + bx + c. Una vez que haya encontrado la ecuación de la gráfica se puede comprobar su respuesta haciendo clic en el segundo botón "Mostrar / Ocultar", que mostrará los coeficientes A, B y C en el lado izquierdo del panel de trazado.

Ejemplo: Encontrar la gráfica de la función cuadrática f cuya gráfica se muestra a continuación.

solución gráfica para comprobar


la tuberia de recoleccion de la Solución

Existen varios métodos para responder a la pregunta anterior, pero todos ellos tienen una idea en común: es necesario comprender y luego seleccione la información correcta de la gráfica.

Método 1:

La gráfica de arriba tiene dos intersecciones x en (-3,0) y (-1,0) y la intersección ay en (0,6). Las coordenadas x de los x intercepta se puede utilizar para escribir la ecuación de la función f como sigue:

f (x) = a (x + 3) (x + 1)

Ahora utilizamos la intersección f (0) = 6

6 = a (0 + 3) (0 + 1)

y resolver de encontrar a = 2. La fórmula para la función cuadrática f está dada por:

f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2x 2 + 8 x + 6

Método 2:

La parábola anterior, tiene un vértice en (-2, -2) y la intersección ay en (0,6). La norma (o vértice) de una función cuadrática f se puede escribir

f (x) = a (x + 2) 2 - 2

Usamos la intersección f (0) = 6

6 = a (0 + 2) 2 - 2. Resolver una para encontrar a = 2. La fórmula para la función cuadrática f está dada por:

f (x) = 2 (x + 2) 2 - 2 = 2x 2 + 8 x + 6

Método 3:

Desde una función cuadrática tiene la forma

f (x) = ax 2 + bx + c

tenemos 3 puntos en la gráfica de f para escribir 3 ecuaciones y resolver por A, B y C.

Los siguientes puntos son de la gráfica de f

(-3, 0), (-1, 0) y (0, 6)

punto (0, 6) da

f (0) = 6 = a (0) 2 + b (0) + c = c
resolver para c para obtener c = 6
Los otros dos puntos da dos ecuaciones

(-3, 0) da f (-3) = a (-3) 2 + b (-3) + 6

lo que conduce a 9 a - 3 b + 6 = 0

y (-1, 0) da f (-3) = a (-1) 2 + b (-1) + 6

que se convierte a - b + 6 = 0

Resolver los últimos dos ecuaciones en A y B para obtener

a = 2, b = 4 y da

f (x) = 2x 2 + 8 x + 6

Volver a la applet anterior, generar un gráfico y encontrar su ecuación. Puede generar muchos como gráfico, por lo tanto se trata, como usted desea.

SIGUIENTE






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Actualizado: 27 de noviembre de 2007 (A Dendane)