Función Cotangente cot x
Definición y Gráfica de la Función Cotangente
El ángulo \( \theta \) con el lado inicial en el eje x positivo (en posición estándar) y el lado terminal OM se muestra a continuación.
Dado el punto \( M(x,y) \) en el lado terminal, la función cotangente se define como
\[ \cot(\theta) = \dfrac{x}{y} \]
\( \cot(\theta) \) también se puede expresar en términos de \( \sin(\theta) \) y \( \cos(\theta) \) de la siguiente manera:
\[ \cot(\theta) = \dfrac{x}{y} = \dfrac{x/r}{y/r} = \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\]
Nota que
1) \[ \cot(\theta+\pi) = \dfrac{\cos(\theta+\pi)}{\sin(\theta+\pi)} = \dfrac{-\cos(\theta)}{-\sin(\theta)}= \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \cot(\theta)\]
y por lo tanto concluimos que \( \cot(\theta) \) es una función periódica con un período igual a \( \pi \).
2) \[ \cot(-\theta) = \dfrac{\cos(-\theta)}{\sin(-\theta)} = \dfrac{ \cos(\theta)}{-\sin(\theta)} = - \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = - \cot(\theta)\]
y por lo tanto \( \cot(\theta) \) es una función impar, lo que también significa que la gráfica de \( \cot(\theta) \) es simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas.
Ahora usamos un círculo unitario para encontrar \( \sin(\theta)\) y \( \cos(\theta)\) y, por lo tanto, \( \cot(\theta)\) en un período que se extiende desde \( \theta = 0 \) hasta \( \theta = \pi \).
Sabemos por las funciones seno y coseno que las coordenadas x e y en un círculo unitario dan los valores de \( \sin(\theta)\) y \( \cos(\theta)\) como se muestra a continuación.
Ahora coloquemos los valores de los ángulos \( 0, \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{3\pi}{4} , \pi \) y los valores correspondientes de \( \cos(\theta) \) y \( \sin(\theta) \) en una tabla como se muestra a continuación.
| \( \theta \) |
\( \cos(\theta) \) |
\( \sin(\theta) \) |
\( \cot(\theta) = \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\) |
| \( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 0 \) |
\( indefinido \) |
| \( \dfrac{\pi}{4} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( 1 \) |
| \( \dfrac{\pi}{2} \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 0 \) |
| \( \dfrac{3\pi}{4} \) |
\( - \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( - 1 \) |
| \( \pi \) |
\( - 1 \) |
\( 0 \) |
\( indefinido \) |
\( \cot(\theta)\) no está definido en \( \theta = 0 \) y \( \theta = \pi \); sin embargo, podemos obtener información sobre el comportamiento de \( \cot(\theta)\) cerca de estos valores.
Usamos la calculadora para encontrar valores de \( \cot(\theta)\) cuando \( \theta \) se acerca a \( 0 \) comenzando desde \( \theta = -0.1 \)
| \( \theta \) |
\( \cot(\theta) \) |
| \( -0.1 \) |
\( -9.966644423 \) |
| \( -0.01\) |
\( -99.99666664 \) |
| \( -0.001 \) |
\( -999.9996667 \) |
| \( -0.000001 \) |
\( -1000000 \) |
Cuando \( \theta \) se acerca a \( 0 \) con valores menores que \( 0 \), \( \cot(\theta) \) se acerca a valores negativos pequeños.
Consideremos ahora valores que se acercan a 0 pero que son mayores que 0.
| \( \theta \) |
\( \cot(\theta) \) |
| \( 0.1 \) |
\( 9.966644423 \) |
| \( 0.01\) |
\( 99.99666664 \) |
| \( 0.001 \) |
\( 999.9996667 \) |
| \( 0.000001 \) |
\( 1000000 \) |
Cuando \( \theta \) se acerca a \(0 \) con valores mayores que \( 0 \), \( \cot(\theta) \) se acerca a valores grandes positivos y, por lo tanto, existe una asíntota vertical en \( \theta = 0 \).
Usando el concepto de límites, describimos el comportamiento de \( \cot(\theta) \) cuando \( \theta \) se acerca a \( 0 \) por la izquierda (con valores menores que \( 0 \)) de la siguiente manera:
\( \lim_{\theta \to 0^-} \cot(\theta) = -\infty \)
y el comportamiento de \( \cot(\theta) \) cuando \( \theta \) se acerca a \( 0 \) por la derecha (con valores mayores que \( 0 \)) es:
\( \lim_{\theta \to 0^+} \cot(\theta) = +\infty \)
Ahora usamos un sistema de ejes rectangulares \( (x,y) \) para trazar los puntos en la tabla anterior y aproximar la gráfica de la función cotangente cot x como se muestra a continuación.
NOTA
Estamos acostumbrados a que \( x \) sea la variable de una función; \(x\) en la gráfica toma los valores de \( \theta \) e \( y \) toma los valores de \( \cot(\theta) \), que se etiqueta como \( y = \cot(x) \).
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Propiedades de cot x
1) cot x tiene un período igual a \( \pi \).
2) \( \cot(x) \) tiene asíntotas verticales en todos los valores de \( x = n\pi \), siendo \( n \) cualquier número entero.
3) El dominio de \( \cot(x) \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( x = n\pi \), siendo \( n \) cualquier número entero.
4) La gráfica de \( \cot(x) \) es simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas.
5) El rango de \( \cot(x) \) está dado por: \( (-\infty , +\infty) \)
6) \( \cot(x) \) es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen del sistema de ejes.
7) \( \cot(x) \) es decreciente en intervalos.
Tutorial Interactivo sobre la Función Cotangente General
La función cotangente general está dada por
\( f ( x ) = a \cot ( b x + c ) + d \)
y su período, desplazamiento de fase, asíntotas, dominio y rango se exploran de forma interactiva. Se utiliza una aplicación donde los parámetros a, b, c y d se cambian para investigar sus efectos en la gráfica de f.
1 - Establece a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. Toma nota del período, desplazamiento de fase y posiciones de las asíntotas (líneas verticales) de la gráfica de f. ¿Ahora cambia a? ¿Cómo afecta a la gráfica? ¿Afecta su rango? Si es así, ¿cómo?
2 - Establece a = 1, c = 0, d = 0 y cambia b. Aproxima el período desde la gráfica y compáralo con \( \dfrac{2\pi}{| b |} \). ¿Cómo afecta b a la gráfica de f(x)? ¿Cómo afecta a las asíntotas de la gráfica de f?
3 - Establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia c comenzando desde cero aumentando lentamente a valores positivos grandes. Toma nota del desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha? Compara su medida con \( - c / b \).
4 - Establece a = 1, b = 1, d = 0 y cambia c comenzando desde cero disminuyendo lentamente a valores negativos más pequeños. Toma nota del desplazamiento, ¿es un desplazamiento a la izquierda o a la derecha? Compara su medida con \( - c / b \).
5 - Establece a, b y c en valores no nulos y cambia d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica?
6 - ¿Qué parámetros afectan las posiciones de las asíntotas verticales? Explica analíticamente.
7 - ¿Qué parámetros afectan el dominio de la función cotangente? Explica analíticamente.
8 - ¿Qué parámetros afectan el rango de la función cotangente? Explica analíticamente.