طريقة عامل التكامل (المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى)

الاشتقاق خطوة بخطوة، الصيغ، الأمثلة المحلوة، وتمارين التدريب

يشرح هذا الدرس كيفية حل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى باستخدام طريقة عامل التكامل. ستجد هنا اشتقاقاً واضحاً للصيغة، يليه أمثلة محلولة بالكامل وتمارين تدريبية مع الإجابات.

الصيغة العامة

تأخذ المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى الشكل التالي:

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]

حيث \( P(x) \) و \( Q(x) \) دالتان معلومتان لـ \( x \).

اشتقاق عامل التكامل

اضرب كلا الطرفين في دالة مجهولة \( u(x) \):

\[ u(x)\frac{dy}{dx} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x) \]

نريد للطرف الأيسر أن يصبح مشتقة حاصل ضرب دالتين. باستخدام قاعدة الضرب:

\[ \frac{d(uy)}{dx} = y\frac{du}{dx} + u\frac{dy}{dx} \]

لكي يتطابق هذا مع التعبير السابق، نطلب أن يكون:

\[ y\frac{du}{dx} = uP(x)y \]

بالقسمة على \( y \):

\[ \frac{du}{dx} = uP(x) \]

أو

\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = P(x) \]

بالتكامل:

\[ \ln u = \int P(x)\,dx \]

ومن ثم فإن عامل التكامل هو:

صيغة عامل التكامل:
\[ u(x) = e^{\int P(x)\,dx} \]

بضرب المعادلة الأصلية في هذا العامل نحصل على:

\[ \frac{d(uy)}{dx} = u(x)Q(x) \]

بتكامل الطرفين:

\[ u(x)y = \int u(x)Q(x)\,dx \]

أخيراً:

صيغة الحل العام:
\[ y = \frac{1}{u(x)}\int u(x)Q(x)\,dx \]

أمثلة محلولة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

المثال 1

حل:

\[ \frac{dy}{dx} - 2xy = x \]

هنا \( P(x) = -2x \) و \( Q(x) = x \).

\[ u(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] \[ y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2} \]

المثال 2

حل بالنسبة لـ \( x > 0 \):

\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -2 \] \[ u(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \] \[ xy = \int -2x\,dx = -x^2 + C \] \[ y = \frac{C}{x} - x \]

المثال 3

\[ x\frac{dy}{dx} + y = -x^3,\quad x > 0 \]

بالقسمة على \( x \):

\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -x^2 \] \[ u(x) = x \] \[ xy = \int -x^3\,dx = -\frac{x^4}{4} + C \] \[ y = \frac{C}{x} - \frac{x^3}{4} \]

التمارين والإجابات

مسائل التدريب والحلول

حل:

  1. \(\dfrac{dy}{dx} + y = 2x + 5\)
  2. \(\dfrac{dy}{dx} + y = x^4\)

الإجابات:

  1. \( y = 2x + 3 + Ce^{-x} \)
  2. \( y = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 + Ce^{-x} \)

قراءات إضافية

نصيحة: تُعد طريقة عامل التكامل أساسية في التفاضل والتكامل وتظهر بشكل متكرر في الفيزياء والهندسة والرياضيات التطبيقية.