طريقة نيوتن لإيجاد أصفار الدالة

الحلول العددية، والصيغ، والأمثلة المحلولة خطوة بخطوة

طريقة نيوتن هي تقنية عددية تستخدم المشتقة الأولى لتقريب أصفار الدوال. إليك أمثلة تفصيلية توضح تطبيقها. يمكنك التحقق من النتائج باستخدام حاسبة طريقة نيوتن.

صيغة طريقة نيوتن

تعتمد طريقة نيوتن (أو نيوتن-رافسون) على الصيغة التكرارية:

\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]

ابدأ بتحديد نقطة بداية قريبة من صفر الدالة. ثم قم بالتكرار باستخدام الصيغة أعلاه. تُستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع ويسهل تطبيقها في معظم لغات البرمجة.

أمثلة محلولة

المثال 1: تقريب الصفر الأكبر للدالة \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)

يمكن إيجاد أصفار هذه الدالة التربيعية تحليلياً، ولكننا سنستخدم طريقة نيوتن للمقارنة. من خلال رسم الدالة \( f \)، نلاحظ وجود صفرين سالبين. الصفر الأكبر أقرب إلى 0. لنأخذ \( x_0 = 0 \) كتقريب أول.

Newton's Method Example 1

المشتقة هي:

\[ f'(x) = 2x + 3 \]

البدء من \( x_0 = 0 \):

\[ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{0^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = -\frac{1}{3} - \frac{f(-1/3)}{f'(-1/3)} \approx -0.38095238 \] \[ x_3 \approx -0.38196555, \quad x_4 \approx -0.38196601, \quad x_5 \approx -0.38196601 \]

قارن هذا بالجذر الدقيق باستخدام القانون العام للمقادير التربيعية:

\[ z_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38196601125\ldots \]
تعطي طريقة نيوتن دقة تصل إلى 8 منازل عشرية.

التحقق من الدقة:

\[ f(x_5) \approx 2.8 \times 10^{-9} \]
هذا يؤكد أن \( x_5 \) تقريب دقيق للغاية.

ملاحظة: تم اختيار المثال 1 للمقارنة بين تقريب نيوتن والحل الدقيق. طريقة نيوتن تكون أكثر فائدة للمعادلات التي ليس لها حل تحليلي، كما في الأمثلة التالية.

المثال 2: حل المعادلة \( e^{x-3} = -x + 2 \)

أعد كتابة المعادلة بالشكل:

\[ f(x) = e^{x - 3} + x - 2 = 0 \]

إذن:

\[ f'(x) = e^{x - 3} + 1 \]

يوحي الرسم البياني بوجود صفر بالقرب من \( x = 2 \)، لذا لنفترض \( x_0 = 2 \). إذن:

\[ x_1 = 2 - \frac{e^{-1}}{e^{-1} + 1} \approx 1.73105857 \] \[ x_2 \approx 1.72154537, \quad x_3 \approx 1.72153545, \quad x_4 \approx 1.72153545 \]

بما أن \( x_4 = x_3 \) حتى 8 منازل عشرية، تتوقف العملية.

التحقق:

\[ f(x_4) \approx -9.3 \times 10^{-9} \] \[ \text{الطرف الأيسر: } e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540 \quad \text{الطرف الأيمن: } -x_4 + 2 \approx 0.278464550 \]

وبالتالي، فإن \( x_4 = 1.72153545 \) يعتبر تقريباً ممتازاً.

Newton's Method Example 2

المثال 3: تقريب القيمة \( \sqrt[3]{5} \)

الجذر التكعيبي للعدد 5 يحقق المعادلة \( x = \sqrt[3]{5} \Rightarrow x^3 = 5 \)، أو:

\[ f(x) = x^3 - 5 = 0, \quad f'(x) = 3x^2 \]

من الرسم البياني، تعتبر نقطة البداية الجيدة هي \( x_0 = 2 \).

\[ x_1 = 2 - \frac{2^3 - 5}{3 \cdot 2^2} = 1.75 \] \[ x_2 = 1.71088435, \quad x_3 = 1.70997642, \quad x_4 = x_5 = 1.70997594 \]

إذن، \( \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594 \).

Newton's Method Example 3