يتم تقديم حاسبة تفاعلية خطوة بخطوة لـ طريقة نيوتن .
طريقة نيوتن لتقريب حل معادلة \( f(x) = 0 \) هي عملية تكرارية عددية تُكتب بالشكل
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) لـ \( n = 0,1,2,3,... \)
وبالتالي بدءاً من قيمة أولية \( x_0 \)، نحسب \( x_1 \) باستخدام العملية أعلاه، ثم نستخدم \( x_1 \) لحساب \( x_2 \) وهكذا.
تستمر العملية حتى يتم الحصول على تقارب الحل.
مثال
لتكن \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \) معادلة يراد حلها.
لا يمكن حل هذه المعادلة تحليلياً ولذلك قد نستخدم طريقة نيوتن لإيجاد حل تقريبي.
الخطوة الأولى هي كتابة المعادلة بحيث يكون الطرف الأيمن مساوياً للصفر كما يلي.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
ثم كتابة \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)
والتي تحتاج إلى إدخالها في الحاسبة أدناه.
لديك أيضاً خيار تحديد قيمة أولية \( x_0 \) قريبة من الحل التقريبي وأيضاً عدد التكرارات المطلوبة.
ملاحظة أن
1) بالنسبة للمعادلات التي لها حلول عديدة مثل \( \sin(x) + 1/x \)، يعتمد الأمر كله على القيمة الأولية \( x_0 \) التي تحددها. وعادة ما تعطي الحل التقريبي الأقرب إلى \( x_0 \).
2) تفشل الطريقة إذا كانت قيمة \( x_n \) في مرحلة ما من عملية التكرار خارج مجال \( f(x) \) أو \( f'(x) \) أو إذا كان \( f'(x) = 0 \). قد يكون من الممكن تغيير القيمة الأولية \( x_0 \) فقط للحصول على تقريب للحل.
3) قد ترغب في رسم الدالة \( f(x) \) بيئياً للحصول على قيمة أولية أفضل \( x_0 \) لاستخدامها في الحاسبة.
1 - أدخل وقم بتعديل الدالة \( f(x) \) وانقر على "إدخال الدالة" ثم تحقق مما أدخلته. أدخل القيمة الأولية \( x_0 \) والتي يجب أن تكون أقرب ما يمكن إلى الحل المطلوب.
2 - انقر على "حساب".
3 - تشمل المخرجات المشتقة \( f'(x) \) والقيم العددية لـ \( x_n \) و \( f(x_n) \) و \( f'(x_n) \)
ملاحظة أن
1) العوامل الخمسة المستخدمة هي: + (جمع) ، - (طرح)، / (قسمة) ، ^ (أس) و * (ضرب). (مثال: f(x) = x^3 - 1/x). (توجد المزيد من الملاحظات حول تحرير الدوال أدناه)
2) يتم إدخال اللوغاريتم الطبيعي \( \ln(x) \) كـ log(x) ، والأس الطبيعي \( e^x \) كـ exp(x).
3) يتم إدخال الدالة \( f(x) \) مرفوعة لأسي معين \(n\) بالشكل: \( (f(x))^n \). مثال: \( \sin^2(2x-1) \) يُدخل كـ (sin(2x-1))^2.
4) يتم إدخال الكسور كأعداد عشرية. مثال: 1/2 يُدخل كـ 0.5.
ملاحظات: عند تحرير الدوال، استخدم ما يلي:
1 - العوامل الخمسة المستخدمة هي: + (جمع) ، - (طرح)، / (قسمة) ، ^ (أس) و * (ضرب). (مثال: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - دالة الجذر التربيعي تُكتب كـ (sqrt). (مثال: sqrt(x^2-1) لـ \( \sqrt {x^2 - 1} \) )
3 - الدالة الأسية تُكتب كـ exp(x). (مثال: exp(x+2) لـ \( e^{x+2} \) )
4 - دالة اللوغاريتم الأساس e تُكتب كـ log(x). (مثال: log(x^2-2) لـ \( \ln(x^2 - 2) \) )
إليك بعض الأمثلة للدوال التي يمكنك نسخها ولصقها للتدريب:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1