تحدب ونقاط انقلاب الرسوم البيانية

لاحظ أن ميل خط المماس (المشتقة الأولى) في تزايد. يُسمى الرسم البياني في الشكل أدناه محدباً نحو الأعلى (مقعراً للأعلى).

ميل خط المماس (المشتقة الأولى) يتناقص في الرسم البياني أدناه. نطلق على الرسم البياني أدناه اسم محدب نحو الأسفل (مقعر للأسفل).

المسألة: أوجد قيم المعامل الرئيسي \( a \) التي يكون عندها الرسم البياني للدالة

محدباً لأعلى أو لأسفل.

الحل:

نحسب أولاً المشتقة الأولى والثانية للدالة \( f \):

ندرس الآن إشارة \( f''(x) \)، والتي تساوي \( 2a \):

• إذا كان \( a \) موجباً، فإن \( f''(x) \) موجبة على الفترة
  \( (-\infty, +\infty) \)
  . وفقاً للنظرية أعلاه، سيكون الرسم البياني للدالة \( f \) محدباً لأعلى من أجل القيم الموجبة لـ \( a \).
• إذا كان \( a \) سالباً، سيكون الرسم البياني للدالة \( f \) محدباً لأسفل على الفترة
  \( (-\infty, +\infty) \)
  نظراً لأن
  \( f''(x) = 2a \)
  سالبة.

تُظهر الرسوم البيانية لدالتين تربيعيتين أدناه:

(محدبة لأعلى لأن ) و (محدبة لأسفل لأن ).

المسألة:

أ) أوجد الفترات التي يكون فيها الرسم البياني للدالة

محدباً لأعلى، ومحدباً لأسفل، ونقاط الانقلاب إن وجدت.

ب) استخدم حاسبة رسوم بيانية لرسم الدالة \( f \) وتأكيد إجاباتك للفرع أ).

الحل:

لنوجد أول مشتقتين للدالة \( f \):

نوجد أصفار \( f''(x) \):

الصفران هما: \( x = 0 \) و \( x = 1 \).

دراسة إشارة \( f'' \):

يقسم الصفران مجموعة الأعداد الحقيقية إلى ثلاث فترات. نختار قيمة لـ \( x \) في كل فترة:

باستخدام جدول الإشارات والنظرية أعلاه:

• على الفترة
  \( (-\infty, 0) \)
  ؛ \( f'' \) موجبة
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأعلى.
• على الفترة
  \( (0, 1) \)
  ؛ \( f'' \) سالبة
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأسفل.
• على الفترة
  \( (1, +\infty) \)
  ؛ \( f'' \) موجبة
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأعلى.

تغير المشتقة الثانية \( f'' \) إشارتها عند \( x = 0 \) و \( x = 1 \)، وبالتالي فإن للرسم البياني لـ \( f \) نقطتي انقلاب: \( (0, f(0)) \) و \( (1, f(1)) \).

ب) التأكيد البياني:

يظهر الرسم البياني للدالة \( f \) (باللون الأزرق) و \( f'' \) (باللون الأحمر) أدناه. كلما كانت \( f'' \) سالبة، كانت الدالة \( f \) محدبة لأسفل؛ وكلما كانت \( f'' \) موجبة، كانت الدالة \( f \) محدبة لأعلى.

المسألة: يظهر أدناه الرسم البياني للمشتقة الثانية \( f'' \) للدالة \( f \). أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة \( f \) محدبة لأعلى ومحدبة لأسفل ونقاط الانقلاب إن وجدت.

الحل:

• على الفترة
  \( (-\infty, 2) \)
  ، يقع الرسم البياني لـ \( f'' \) تحت محور السينات (
  \( f'' < 0 \)
  )، ومن ثم فإن \( f \) تكون محدبة لأسفل.
• على الفترة
  \( (2, +\infty) \)
  ، يقع الرسم البياني لـ \( f'' \) فوق محور السينات (
  \( f'' > 0 \)
  )، ومن ثم فإن \( f \) تكون محدبة لأعلى.
• عند \( x = 2 \)، تتغير إشارة \( f'' \)، وعليه فإن \( x = 2 \) هي نقطة انقلاب.

المسألة: يظهر أدناه الرسم البياني للمشتقة الأولى \( f' \) للدالة \( f \). أوجد الفترات التي يكون فيها الرسم البياني لـ \( f \) محدباً لأعلى ومحدباً لأسفل ونقاط الانقلاب إن وجدت.

الحل:

نستخدم الرسم البياني للمشتقة الأولى \( f' \) لإيجاد إشارة المشتقة الثانية (

) واستنتاج التحدب:

• على الفترة
  \( (-\infty, -2) \)
  ، تكون \( f' \) متناقصة (
  \( f'' < 0 \)
  )
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأسفل.
• على الفترة
  \( (-2, -1) \)
  ، تكون \( f' \) متزايدة (
  \( f'' > 0 \)
  )
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأعلى.
• على الفترة
  \( (-1, 1) \)
  ، تكون \( f' \) متناقصة (
  \( f'' < 0 \)
  )
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأسفل.
• على الفترة
  \( (1, +\infty) \)
  ، تكون \( f' \) متزايدة (
  \( f'' > 0 \)
  )
  \(\implies\)
  الرسم البياني لـ \( f \) محدب لأعلى.

يتغير تحدب الرسم البياني لـ \( f \) عند \( x = -2 \) و \( x = -1 \) و \( x = 1 \)؛ وعليه فإن جميعها نقاط انقلاب.