مشتقة الدالة اللوغاريتمية لأي أساس: \( \log_a(x) \)

الاشتقاق خطوة بخطوة، البرهان، والأمثلة المحلولة

تُعرض أدناه خطوات إيجاد مشتقة الدالة اللوغاريتمية لأي أساس مع شروحات تفصيلية.

استخدام قاعدة تغيير الأساس

لتكن \( y = \log_a x \).

استخدم قاعدة تغيير الأساس لإعادة كتابة \( y = \log_a x \) باستخدام اللوغاريتم الطبيعي \( \ln \):

\[ y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]

نقوم الآن بحساب المشتقة:

\[ \frac{d}{dx} \left(\log_a x\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right) \]

مع ملاحظة أن \( \ln a \) ثابت وأن \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x \)، نحصل على:

\[ \frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (I) \]

أمثلة مع الحلول

المثال 1: مشتقات الدوال اللوغاريتمية الأساسية والمركبة

المسألة: أوجد مشتقات كل من:

أ) \( y = \log_3(x) \)

ب) \( y = \log_5(x^2 + 2x - 1) \)

الحل:

أ) باستخدام الصيغة في \( (I) \)، نحصل على:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln 3} \]

ب) الدالة في الفرع ب هي دالة مركبة من الشكل \( y = \log_5 u(x) \) حيث \( u(x) = x^2 + 2x - 1 \).

باستخدام قاعدة السلسلة في الاشتقاق:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad (II) \]

باستخدام الصيغة \( (I) \):

\[ \frac{dy}{du} = \frac{1}{u \ln 5} \]

احسب \( \frac{du}{dx} \):

\[ \frac{du}{dx} = 2x + 2 \]

عوض بـ \( \frac{dy}{du} \) و \( \frac{du}{dx} \) في \( (II) \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \ln 5} \cdot (2x + 2) = \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x - 1) \ln 5} \]
المثال 2: إثبات أن الدالة اللوغاريتمية متناقصة

المسألة: أثبت أن الدالة \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) متناقصة في مجالها.

الحل:

أوجد المشتقة باستخدام الصيغة \( (I) \):

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \ln\left(\frac{1}{2}\right)} \]

لاحظ أن:

\[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2 \]

ومن ثم:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \]

مجال الدالة المعطاة \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) هو مجموعة كل قيم \( x \) بحيث \( x > 0 \). لذلك، فإن المشتقة \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{-x \ln 2} \) سالبة في جميع أنحاء المجال. بما أن المشتقة سالبة على مجال الدالة، فإن \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x) \) دالة متناقصة.

المزيد من المراجع وروابط