المعادلات التفاضلية القابلة للفصل

التعريف، الطريقة، الأمثلة المحلوة خطوة بخطوة، وتمارين التدريب

في التفاضل والتكامل، المعادلة التفاضلية القابلة للفصل هي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى يمكن كتابتها على النحو التالي:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]

والتي يمكن إعادة كتابتها كـ:

\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]

يمكن فصل المتغيرات بحيث تظهر جميع الحدود التي تتضمن \( y \) على طرف واحد وجميع الحدود التي تتضمن \( x \) على الطرف الآخر. يمكن عادةً حل هذه المعادلات عن طريق التكامل المباشر. يشرح هذا الدرس الطريقة ويقدم أمثلة محلولة تليها تمارين تدريبية.

كيفية حل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل

  1. أعد كتابة المعادلة بحيث تكون جميع حدود \( y \) على طرف وجميع حدود \( x \) على الطرف الآخر.
  2. تكامل كلا الطرفين بالنسبة لمتغيريهما.
  3. حل لـ \( y \) إن أمكن لإيجاد الحل العام.

أمثلة مع حلول تفصيلية

أمثلة محلولة

المثال 1

حل المعادلة التفاضلية:

\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]

الحل:

فصل المتغيرات:

\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]

تكامل كلا الطرفين:

\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]

حل لـ \( y \):

\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]

هذا هو الحل العام. يمكنك التحقق من ذلك عن طريق الاشتقاق.

المثال 2

حل المعادلة التفاضلية:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]

الحل:

فصل المتغيرات:

\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]

التكامل:

\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]

باستخدام التكامل بالتجزئة في الطرف الأيسر (\( u = y, dv = \cos y \, dy \)):

\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]

هذا الحل ضمني؛ لا توجد صيغة صريحة بسيطة لـ \( y(x) \).

تمارين تدريبية

التمارين والإجابات

حل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل التالية:

  1. \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
  2. \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)

الإجابات:

  1. \( y = \frac{1}{3x^3 + C} \)
  2. \( y = -\ln(x^2 + C) \)

المزيد من المراجع