مشتقات تتضمن القيمة المطلقة

الصيغ خطوة بخطوة، الرسوم البيانية، الأمثلة المحلوة، وتمارين التدريب

درس حول كيفية إيجاد مشتقات الدوال في حساب التفاضل والتكامل (التفاضل والتكامل ومشتقاته) التي تتضمن القيمة المطلقة.
تم تضمين فيديو حول كيفية إيجاد مشتقة دالة القيمة المطلقة؟.

مشتقة دالة القيمة المطلقة

لتكن \( f(x) = |u(x)| \). لاحظ أن \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \).

استخدم قاعدة السلسلة للتفاضل لإيجاد مشتقة \( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \):

\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]

ومن ثم:

صيغة مشتقة القيمة المطلقة:
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{du}{dx} \dfrac{u}{|u|} \]

أمثلة مع الحلول

أمثلة محلولة: حلول خطوة بخطوة

المثال 1

أوجد المشتقة الأولى \( f'(x) \)، إذا كانت \( f(x) \) معطاة بـ:

\[ f(x) = |x - 1| \]

الحل للمثال 1:

ليكن \( u = x - 1 \) بحيث يمكن كتابة \( f(x) \) كـ \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \).

استخدم قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]

لاحظ ما يلي:

  1. إذا كانت \( x > 1 \)، فإن \( |x - 1| = x - 1 \) و \( f'(x) = 1 \).
  2. إذا كانت \( x < 1 \)، فإن \( |x - 1| = -(x - 1) \) و \( f'(x) = -1 \).
  3. \( f'(x) \) غير موجودة عند \( x = 1 \).

توضح رسوم بيان كل من \( f \) ومشتقاتها \( f' \) أنه من غير الممكن رسم مماس فريد لبيان \( f \) عند \( x = 1 \)، مما يفسر عدم وجود المشتقة عند \( x = 1 \).

derivative of absolute value function

المثال 2

أوجد المشتقة الأولى لـ \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]

الحل للمثال 2:

\( f(x) \) تتكون من مجموع دالتين. ليكن \( u = -x + 2 \)، بحيث:

\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]

التبسيط:

\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]

لاحظ ما يلي:

  1. إذا كانت \( x < 2 \)، فإن \( |-x + 2| = -x + 2 \) و \( f'(x) = -2 \).
  2. إذا كانت \( x > 2 \)، فإن \( |-x + 2| = -(-x + 2) \) و \( f'(x) = 0 \).
  3. \( f'(x) \) غير موجودة عند \( x = 2 \).

كتمرين، ارسم بيان \( f \) واشرح النتائج المتعلقة بـ \( f'(x) \) المستحصل عليها أعلاه.

المثال 3

أوجد المشتقة الأولى لـ \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]

الحل للمثال 3:

باستخدام قاعدة القسمة وصيغة مشتقة القيمة المطلقة:

\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]

قسّم الكسر إلى حدين وبسّط الكسر في الجانب الأيسر:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]

بسّط الكسر في الجانب الأيمن:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]

اجعل الكسرين بنفس المقام:

\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]

اجمع الكسرين وبسّط:

\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]

التمارين مع الإجابات

مسائل التدريب والحلول

أوجد المشتقات الأولى لهذه الدوال:

تلميح: في بعض الأسئلة أدناه قد تحتاج إلى تطبيق قاعدة السلسلة أكثر من مرة.

  1. \( f(x) = |2x - 5| \)
  2. \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
  3. \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
  4. \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
  5. \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
  6. \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
  7. \( l(x) = \sin |2x| \)

الإجابات على التمارين أعلاه:

  1. \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
  2. \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
  3. \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
  4. \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
  5. \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
  6. \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
  7. \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)

المزيد من الروابط والمراجع