كيف تجد مشتقة الدالة العكسية؟

تُعطى مشتقة الدالة العكسية f^-1(x) بواسطة نظرية الدالة العكسية: (f^-1)'(x) = 1 / f'(f^-1(x))، أو ما يكافئها dy/dx = 1 / (df/dy).

مشتقة الدالة العكسية – الصيغ، البراهين والأمثلة

يتم عرض أمثلة مع حلول مفصلة حول كيفية إيجاد مشتقة (التفاضل والتكامل ومشتقاته) للدالة العكسية. كما يتم تضمين المزيد من التمارين مع الإجابات.

صيغة ونظرية مشتقة الدالة العكسية

لتكن \( f \) دالة و \( f^{-1} \) عكسها. إحدى الخصائص الأساسية للدوال العكسية هي أن:

\[ f(f^{-1}(x)) = x \]

ليكن \( y = f^{-1}(x) \)، بحيث:

\[ f(y) = x \]

فاضل كلا الطرفين باستخدام قاعدة السلسلة في الطرف الأيسر:

\[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \]

حل لـ \( \dfrac{dy}{dx} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{df}{dy}} \]

والتي يمكن كتابتها أيضاً كـ:

نظرية مشتقة الدالة العكسية:

\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

حيث \( f' \) هي المشتقة الأولى لـ \( f \).

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

أوجد مشتقة عكس الدالة \( f \) المعطاة بـ:

\[ f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \]

الحل للمثال 1 (انقر لعرض الطرق)

نقدم طريقتين للإجابة على السؤال أعلاه. في الطريقة الأولى نحسب الدالة العكسية ثم مشتقاتها. في الطريقة الثانية، نستخدم الصيغة التي تم تطويرها أعلاه.

الطريقة الأولى: الدالة العكسية الصريحة

تتكون الطريقة الأولى من إيجاد عكس الدالة \( f \) وتفاضلها. لإيجاد عكس \( f \)، نكتبها أولاً كمعادلة:

\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]

حل لـ \( x \):

\[ x = 2y + 2 \]

تبديل \( x \) و \( y \) للحصول على العكس:

\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]

مشتقة الدالة العكسية هي:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]

الطريقة الثانية: باستخدام صيغة نظرية الدالة العكسية

بمعلومية \( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \)، إذن:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]

عوض عن \( f' \) بـ \( \dfrac{1}{2} \) في الصيغة \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \):

\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

لاحظ أنه يمكن استخدام الطريقة الأولى فقط إذا كان بإمكاننا إيجاد الدالة العكسية صراحةً.

المثال 2

أوجد المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \) حيث \( y = \arcsin x \).

الحل للمثال 2 (انقر لعرض الحل)

\( \arcsin x \) هي الدالة العكسية لـ \( \sin x \) ومن ثم:

\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]

معطى \( y = \arcsin x \). خذ جيب الزاوية لكلا الطرفين:

\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]

تبسيط باستخدام (I):

\[ \sin y = x \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \)، باستخدام قاعدة السلسلة في الطرف الأيسر:

\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]

حل لـ \( \dfrac{dy}{dx} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]

قم بالتعويض \( y = \arcsin x \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]

بسّط \( \cos(\arcsin x) \) باستخدام المتطابقة المثلثية \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \):

\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]

بسّط باستخدام خاصية الدوال العكسية \( \sin(\arcsin x) = x \):

\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]

عوض مرة أخرى في (II) للحصول على الإجابة النهائية:

\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]

لاحظ أنه كان من الممكن الحصول على النتيجة أعلاه باستخدام نظرية الصيغة، ولكن هنا أظهرنا كيفية إيجاد مشتقة العكس دون تذكر الصيغة.

التمارين

مسائل التدريب والحلول

أوجد مشتقة عكس كل دالة موضحة أدناه:

\( f(x) = 3x - 4 \)
\( g(x) = \arccos x \)
\( h(x) = \arctan x \)

الإجابات على التمارين أعلاه

\( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
\( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)