مشتقات الدوال المثلثية

الصيغ، القواعد، وأمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الضرب والقسمة

تم تقديم صيغ مشتقات الدوال المثلثية sin(x)، cos(x)، tan(x)، cot(x)، sec(x)، و csc(x) في حساب التفاضل والتكامل، إلى جانب عدة أمثلة تتضمن الضرب والجمع وقسمة الدوال المثلثية.

صيغ مشتقات الدوال المثلثية

1. مشتقة \( \sin x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
2. مشتقة \( \cos x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
3. مشتقة \( \tan x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
4. مشتقة \( \cot x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
5. مشتقة \( \sec x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
6. مشتقة \( \csc x \):
\[ \dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]

أمثلة باستخدام مشتقات الدوال المثلثية

المثال 1

أوجد المشتقة الأولى لـ \( f(x) = x \sin x \)

الحل للمثال 1

ليكن \( g(x) = x \) و \( h(x) = \sin x \). يمكن اعتبار الدالة \( f \) حاصل ضرب الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x)h(x) \). ومن ثم نستخدم قاعدة الضرب، \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \)، لتفاضل الدالة \( f \) على النحو التالي:

\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]

المثال 2

أوجد المشتقة الأولى لـ:

\[ f(x) = \tan x + \sec x \]
الحل للمثال 2

ليكن \( g(x) = \tan x \) و \( h(x) = \sec x \). يمكن اعتبار الدالة \( f \) مجموع الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). ومن ثم نستخدم قاعدة الجمع، \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)، لتفاضل الدالة \( f \) على النحو التالي:

\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]

المثال 3

أوجد المشتقة الأولى لـ:

\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]
الحل للمثال 3

ليكن \( g(x) = \sin x \) و \( h(x) = 1 + \cos x \). يمكن اعتبار الدالة \( f \) قسمة الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). ومن ثم نستخدم قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

نوجد المشتقات الفردية:

\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]

عوض في صيغة قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) للتبسيط:

\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]

المزيد من الروابط والمراجع