مشتقات الدوال المثلثية العكسية

البراهين، الصيغ، الأمثلة المحلوة خطوة بخطوة مع الضرب، الجمع، وقاعدة السلسلة

يتم تقديم براهين صيغ مشتقات الدوال المثلثية العكسية إلى جانب عدة أمثلة أخرى تتضمن مجموع وضرب وقسمة الدوال. كما تم تضمين طريقة أخرى لإيجاد مشتقة الدوال العكسية ويمكن استخدامها.

براهين وصيغ مشتقات الدوال المثلثية العكسية

1. مشتقة \( y = \arcsin(x) \)

لتكن \( y = \arcsin(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \sin(y) \).

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]

باستخدام المتطابقة المثلثية \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]

2. مشتقة \( \arccos(x) \)

لتكن \( y = \arccos(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \cos(y) \).

تفريق كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]

بما أن \( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]

3. مشتقة \( \arctan(x) \)

لتكن \( y = \arctan(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \tan(y) \).

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]

باستخدام المتطابقة \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]

4. مشتقة \( \text{arccot}(x) \)

لتكن \( y = \text{arccot}(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \cot(y) \).

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]

بما أن \( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]

5. مشتقة \( \text{arcsec}(x) \)

لتكن \( y = \text{arcsec}(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \sec(y) \).

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]

باستخدام \( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]

6. مشتقة \( \text{arccsc}(x) \)

لتكن \( y = \text{arccsc}(x) \)، والتي يمكن كتابتها كـ \( x = \csc(y) \).

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]

باستخدام \( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)، نحصل على:

\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد المشتقة الأولى لـ:

\[ f(x) = x \arcsin x \]
الحل للمثال 1

ليكن \( h(x) = x \) و \( g(x) = \arcsin x \). تعتبر الدالة \( f \) حاصل ضرب الدالتين \( h \) و \( g \): \( f(x) = h(x)g(x) \).

استخدم قاعدة الضرب للتفاضل: \( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \):

\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]

المثال 2

أوجد المشتقة الأولى لـ:

\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]
الحل للمثال 2

ليكن \( g(x) = \arctan x \) و \( h(x) = x^2 \). يمكن اعتبار الدالة \( f \) مجموع الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). ومن ثم نستخدم قاعدة الجمع، \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):

\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]

المثال 3

أوجد المشتقة الأولى لـ:

\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]
الحل للمثال 3

ليكن \( u(x) = 2x + 2 \)، لذا فإن الدالة \( f \) هي الدالة المركبة \( f(x) = \arcsin(u(x)) \). استخدم قاعدة السلسلة، \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \):

\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]

عوض عن \( u = 2x + 2 \):

\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]

المزيد من المراجع والروابط