تفاضل الدوال الأسية

الصيغ، القواعد، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، التمارين، والمراجع

تم تقديم صيغ ومشتقات الدوال الأسية في حساب التفاضل والتكامل. تم فحص عدة أمثلة مع حلول تفصيلية تتضمن الضرب والجمع وقسمة الدوال الأسية.

مشتقة الدوال الأسية لأي أساس

مشتقة \( f(x) = b^{x} \) تُعطى بـ:

صيغة مشتقة الدالة الأسية العامة:
\[ f'(x) = b^{x} \ln b \]

ملاحظة: إذا كانت \( f(x) = e^{x} \)، إذن \( f'(x) = e^{x} \).

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد مشتقة \( f(x) = 2^{x} \)

الحل للمثال 1

طبق الصيغة أعلاه للحصول على:

\[ f'(x) = 2^{x} \ln 2 \]

المثال 2

أوجد مشتقة \( f(x) = 3^{x} + 3x^{2} \)

الحل للمثال 2

ليكن \( g(x) = 3^{x} \) و \( h(x) = 3x^{2} \). الدالة \( f \) هي مجموع الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \).

استخدم قاعدة الجمع، \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)، لإيجاد مشتقة الدالة \( f \):

\[ f'(x) = 3^{x} \ln 3 + 6x \]

المثال 3

أوجد مشتقة \( f(x) = \dfrac{e^{x}}{1 + x} \)

الحل للمثال 3

ليكن \( g(x) = e^{x} \) و \( h(x) = 1 + x \). الدالة \( f \) هي قسمة الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). ومن ثم نستخدم قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

نوجد المشتقات الفردية:

\[ g'(x) = e^{x} \] \[ h'(x) = 1 \]

عوض في صيغة قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{(1 + x)(e^{x}) - (e^{x})(1)}{(1 + x)^{2}} \] \[ = \dfrac{xe^{x}}{(1 + x)^{2}} \]

المثال 4

أوجد مشتقة \( f(x) = e^{2x + 1} \)

الحل للمثال 4

ليكن \( u = 2x + 1 \) و \( y = e^{u} \). استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة الدالة \( f \):

\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]

بما أن \( \dfrac{dy}{du} = e^{u} \) و \( \dfrac{du}{dx} = 2 \):

\[ f'(x) = 2e^{2x + 1} \]

التمارين

أوجد مشتقة كل دالة:

  1. \( f(x) = e^{x} 2^{x} \)
  2. \( g(x) = 3^{x} - 3x^{3} \)
  3. \( h(x) = \dfrac{e^{x}}{2x - 3} \)
  4. \( j(x) = e^{(x^{2} + 2)} \)
حلول التمارين أعلاه
  1. \( f'(x) = e^{x} 2^{x} (\ln 2 + 1) \)
  2. \( g'(x) = 3^{x} \ln 3 - 9x^{2} \)
  3. \( h'(x) = \dfrac{e^{x}(2x - 5)}{(2x - 3)^{2}} \)
  4. \( j'(x) = 2x e^{(x^{2} + 2)} \)

المزيد من المراجع والروابط