ما هي مشتقات الدوال الزائدية؟

المشتقات هي: d/dx(sinh x) = cosh x, d/dx(cosh x) = sinh x, d/dx(tanh x) = sech^2 x, d/dx(coth x) = -csch^2 x, d/dx(csch x) = -csch x coth x, و d/dx(sech x) = -sech x tanh x.

تفاضل الدوال الزائدية – الصيغ والأمثلة

تم تقديم الصيغ والأمثلة، مع الحلول التفصيلية، حول مشتقات الدوال الزائدية. للتعرف على تعريفات ورسومات الدوال الزائدية، انتقل إلى رسومات الدوال الزائدية.

جدول الدوال الزائدية ومشتقاتها

الدالة	المشتقة
\( f(x) = \sinh x \)	\( f'(x) = \cosh x \)
\( f(x) = \cosh x \)	\( f'(x) = \sinh x \)
\( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \)	\( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \)
\( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \)	\( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \)
\( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \)	\( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \)
\( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \)	\( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \)

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد مشتقة \( f(x) = \sinh(x^2) \)

الحل للمثال 1

ليكن \( u = x^2 \) و \( y = \sinh u \). استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة الدالة المعطاة \( f \):

\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]

بما أن \( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \) (انظر الصيغة أعلاه) و \( \dfrac{du}{dx} = 2x \):

\[ f'(x) = 2x \cosh u \]

عوض عن \( u = x^2 \) مرة أخرى:

\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]

المثال 2

أوجد مشتقة \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)

الحل للمثال 2

ليكن \( g(x) = 2 \sinh x \) و \( h(x) = 4 \cosh x \). الدالة \( f \) هي مجموع الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). استخدم قاعدة الجمع، \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):

\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]

المثال 3

أوجد مشتقة \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \)

الحل للمثال 3

ليكن \( g(x) = \cosh x \) و \( h(x) = \sinh(x^2) \). الدالة \( f \) هي قسمة الدالتين \( g \) و \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). ومن ثم نستخدم قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

نوجد المشتقات الفردية:

\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{(انظر المثال 1 أعلاه)} \]

عوض في صيغة قاعدة القسمة:

\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]

المثال 4

أوجد مشتقة \( f(x) = (\sinh x)^2 \)

الحل للمثال 4

ليكن \( u = \sinh x \) و \( y = u^2 \). استخدم قاعدة السلسلة:

\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]

بما أن \( \dfrac{dy}{du} = 2u \) و \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \):

\[ f'(x) = 2u \cosh x \]

ضع \( u = \sinh x \) مرة أخرى:

\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]

التمارين

أوجد مشتقة كل دالة:

\( f(x) = \sinh(x^3) \)
\( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
\( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
\( j(x) = -(\cosh x)^2 \)

حلول التمارين أعلاه

\( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
\( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
\( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
\( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)