تقييم التكاملات بإكمال المربع

مراجعة الصيغ، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع إغلاق الحلول، التمارين، والمراجع

أمثلة، حلول تفصيلية، وتمارين مع إجابات حول كيفية استخدام تقنيات إكمال المربع و التعويض لتقييم التكاملات التي تتضمن تعبيرات تربيعية. تتضمن أيضاً التمارين مع إجاباتها.

مراجعة صيغ المشتقات والتكاملات

ملاحظة: فيما يلي، \( c \) هو ثابت التكامل.

نراجع أولاً بعض صيغ المشتقة للدوال العكسية المعروفة التي تتضمن تعبيرات تربيعية:

\[ \begin{aligned} & \dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1 + x^2} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arcsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \\[15pt] & \dfrac{d}{dx} \operatorname{arccosh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{aligned} \]

نستخدم الآن صيغ التفاضل أعلاه لكتابة صيغ التكامل المقابلة:

\[ \begin{aligned} & \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \operatorname{arcsinh} x + c \\[15pt] & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \operatorname{arccosh} x + c \end{aligned} \]

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

قيم التكامل:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx \]
الحل للمثال 1

نقوم أولاً بـ إكمال المربع للتعبير \( -x^2 - x \):

\[ \begin{aligned} & -x^2 - x \\ & = -(x^2 + x) \\ & = -\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \right) \\ & = \dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \end{aligned} \]

عوض بما سبق في التكامل المعطى:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4} - \left(x + \frac{1}{2}\right)^2}} \, dx \]

أخرج \( \dfrac{1}{4} \) من تحت الجذر التربيعي:

\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(1 - \left(2\left(x + \frac{1}{2}\right)\right)^2\right)}} \, dx = \int \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 1)^2}} \, dx \]

استخدم طريقة التعويض: ليكن \( z = 2x + 1 \)، إذن \( dz = 2 \, dx \) (أو \( dx = \dfrac{dz}{2} \)):

\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = \arcsin(z) + c \]

عوض مرة أخرى بـ \( z = 2x + 1 \) للحصول على الإجابة النهائية:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{-x^2 - x}} \, dx = \arcsin(2x + 1) + c \]

المثال 2

قيم التكامل:

\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx \]
الحل للمثال 2

نقوم أولاً بـ إكمال المربع للتعبير \( 3x^2 + 12x + 24 \):

\[ \begin{aligned} & = 3(x^2 + 4x) + 24 \\ & = 3\left((x + 2)^2 - 4\right) + 24 \\ & = 3(x + 2)^2 - 12 + 24 = 3(x + 2)^2 + 12 \\ & = 12\left(\dfrac{1}{4}(x + 2)^2 + 1\right) = 12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right) \end{aligned} \]

عوض في التكامل واستخدم التعويض (\( z = \dfrac{x}{2} + 1 \)، \( dx = 2 \, dz \)):

\[ \int \dfrac{2}{3x^2 + 12x + 24} \, dx = \int \dfrac{2}{12\left(\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)^2 + 1\right)} \, dx = \dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (2 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz \]

أوجد القيمة وعوض مرة أخرى:

\[ = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x}{2} + 1\right) + c \]

المثال 3

قيم التكامل:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 12x + 40}} \, dx \]
الحل للمثال 3

أكمل المربع لـ \( x^2 + 12x + 40 \):

\[ x^2 + 12x + 40 = (x + 6)^2 - 36 + 40 = (x + 6)^2 + 4 \]

أعد كتابة التكامل:

\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{(x + 6)^2 + 4}} \, dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{4\left(\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1\right)}} \, dx = \int \dfrac{1}{2\sqrt{\left(\dfrac{x}{2} + 3\right)^2 + 1}} \, dx \]

ليكن \( z = \dfrac{x}{2} + 3 \)، إذن \( dx = 2 \, dz \):

\[ = \int \dfrac{1}{\sqrt{z^2 + 1}} \, dz = \operatorname{arcsinh}(z) + c = \operatorname{arcsinh}\left(\dfrac{x}{2} + 3\right) + c \]

المثال 4

قيم التكامل:

\[ \int \dfrac{1}{10 + x^2 - 2x} \, dx \]
الحل للمثال 4

أكمل المربع للمقام \( 10 + x^2 - 2x \):

\[ x^2 - 2x + 10 = (x - 1)^2 - 1 + 10 = (x - 1)^2 + 9 \]

أعد كتابة التكامل وأخرج \( 9 \) كعامل مشترك:

\[ \int \dfrac{1}{(x - 1)^2 + 9} \, dx = \int \dfrac{1}{9\left(\left(\dfrac{x - 1}{3}\right)^2 + 1\right)} \, dx \]

ليكن \( z = \dfrac{x - 1}{3} \)، إذن \( dx = 3 \, dz \):

\[ = \dfrac{1}{9} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} (3 \, dz) = \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{z^2 + 1} \, dz = \dfrac{1}{3} \arctan(z) + c \]

عوض مرة أخرى بـ \( z \):

\[ = \dfrac{1}{3} \arctan\left(\dfrac{x - 1}{3}\right) + c \]

التمارين

قيم التكاملات المعطاة أدناه:

  1. \( \displaystyle \int \dfrac{3}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 12x + 45} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x^2 + 10x + 13}} \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{5 + x^2 + 2x} \, dx \)

إجابات التمارين أعلاه

  1. \( 3 \arcsin\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \)
  2. \( \arctan\left(\dfrac{x}{3} + 2\right) + c \)
  3. \( \operatorname{arcsinh}(2x + 5) + c \)
  4. \( \dfrac{1}{2} \arctan\left(\dfrac{x + 1}{2}\right) + c \)

المزيد من المراجع والروابط

  1. التكاملات وتطبيقاتها في حساب التفاضل والتكامل
  2. درس إكمال المربع
  3. درس التكامل بالتعويض