كيف تقيم تكامل القيمة المطلقة لـ x؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ |x| باستخدام التكامل بالأجزاء عن طريق كتابة دالة التكامل على صورة 1 * |x|، مما ينتج عنه (1/2) * x * |x| + C.

تكامل |x| (القيمة المطلقة لـ x) – الاشتقاق والصيغة

قيم التكامل غير المحدود:

\[ \int |x| \, dx \]

أعد كتابة دالة التكامل على صورة حاصل ضرب:

\[ \int |x| \, dx = \int 1 \cdot |x| \, dx \quad (I) \]

تذكر أن \( |x| = \sqrt{x^2} \) وأن مشتقته بالنسبة لـ \( x \) تُعطى بـ:

\[ \dfrac{d(|x|)}{dx} = \dfrac{d(\sqrt{x^2})}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{|x|} \quad (II) \]

طبق صيغة التكامل بالأجزاء: \( \displaystyle \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) على التكامل في الطرف الأيمن من (I).

ليكن \( u' = 1 \) و \( v = |x| \)، مما يعطي \( u = x \) و \( v' = \dfrac{x}{|x|} \) (من الخطوة II).

عوض بهذه القيم في صيغة التكامل بالأجزاء:

\[ = x |x| - \int x \cdot \dfrac{x}{|x|} \, dx \quad (III) \]

بست حد دالة التكامل \( x \cdot \dfrac{x}{|x|} \):

\[ x \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{|x|^2}{|x|} = |x| \]

عوض بدالة التكامل المبسطة هذه مرة أخرى في المعادلة (III):

\[ \int |x| \, dx = x |x| - \int |x| \, dx \]

أضف \( \displaystyle \int |x| \, dx \) إلى كلا الطرفين:

\[ \int |x| \, dx + \int |x| \, dx = x |x| \] \[ 2 \int |x| \, dx = x |x| \]

بالقسمة على 2 وإضافة ثابت التكامل \( C \)، تُعطى الإجابة النهائية بـ:

تكامل \( |x| \):

\[ \int |x| \, dx = \dfrac{1}{2} x |x| + C \]