تقييم التكاملات التي تتضمن لوغاريتمات - درس تعليمي

أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، تمارين تدريبية، والإجابات

تقييم التكاملات التي تتضمن دوال لوغاريتمية طبيعية: درس تعليمي، مع أمثلة وحلول مفصلة. كما يتم تقديم تمارين مع إجابات في نهاية الدرس. قد ترغب في استخدام جدول التكاملات وخصائص التكاملات على هذا الموقع. فيما يلي، \( C \) هو ثابت التكامل ويمكن أن يأخذ أي قيمة ثابتة.

أمثلة مع الحلول

انقر على كل مثال لعرض حله المفصل.

المثال 1: احسب \( \displaystyle \int \ln(x) \, dx \)

حل المثال 1:

لتكن \( U = \ln(x) \) و \( V' = 1 \) واستخدم التكامل بالتجزئة. إذن \( U' = \dfrac{1}{x} \) و \( V = x \):

\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]

التحقق: اشتق التعبير \( x \ln(x) - x + C \) وسترى أنك تحصل على \( \ln(x) \)، وهو الاقتران المراد تكامله في التكامل المعطى.

المثال 2: احسب \( \displaystyle \int \ln(2x + 1) \, dx \)

حل المثال 2:

التعويض: لتكن \( u = 2x + 1 \)، مما يؤدي إلى \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) أو \( du = 2 \, dx \) أو \( dx = \dfrac{du}{2} \). يصبح التكامل:

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]

نستخدم الآن صيغ التكامل لـ اقتران \( \ln(u) \) (الموجودة في المثال 1):

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]

عوض عن \( u \) بـ \( 2x + 1 \) مرة أخرى:

\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]

حيث \( K = C - \dfrac{1}{2} \) هو ثابت.

التحقق: اشتق النتيجة للتحقق من أنها تتطابق مع الاقتران المراد تكامله.

المثال 3: احسب \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)

حل المثال 3:

لتكن \( f(x) = \ln x \) و \( g'(x) = x \)، مما يعطي \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) و \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \).

باستخدام التكامل بالتجزئة \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \)، نحصل على:

\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]

تدرب: اشتق التعبير \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) للحصول على الاقتران المراد تكامله \( x \ln x \).

المثال 4: احسب \( \displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \)

حل المثال 4:

لتكن \( u = \ln x \) بحيث يكون \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) أو \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \). بعد التعويض، يمكن كتابة التكامل كالتالي:

\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]

كامل للحصول على:

\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]

عوض عن \( u \) بـ \( \ln x \):

\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]

كتمرين، تحقق من الإجابة النهائية عن طريق الاشتقاق.

التمارين

احسب التكاملات التالية:

  1. \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)

إجابات التمارين أعلاه

  1. \( \dfrac{x^4 \ln x}{4} - \dfrac{x^4}{16} + C \)
  2. \( \dfrac{x^2}{2} - x \ln x + x + C \)

المزيد من المراجع والروابط