تعريف تحويلات لابلاس
ليكن \( f(t) \) اقتراناً للمتغير الحقيقي \( t \)، بحيث يكون \( t \geq 0 \). يُعطى تحويل لابلاس \( F(s) \) للاقتران \( f \) بالتكامل الآتي:
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \]
حيث \( s \) متغير مركب. هنا، يُسمى \( f(t) \) الاقتران الأصلي (نطاق الزمن) ويُسمى \( F(s) \) اقتران الصورة (نطاق التردد).
جدول تحويلات لابلاس
\( f(t) \) |
\( F(s) \) |
|---|---|
\( 1 \) |
\( \dfrac{1}{s} \) |
\( t \) |
\( \dfrac{1}{s^2} \) |
\( t^n \) |
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \) |
\( t^{1/2} \) |
\( \dfrac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}} \) |
\( t^{-1/2} \) |
\( \sqrt{\dfrac{\pi}{s}} \) |
\( e^{-at} \) |
\( \dfrac{1}{s + a} \) |
\( t e^{-at} \) |
\( \dfrac{1}{(s + a)^2} \) |
\( \sin(at) \) |
\( \dfrac{a}{s^2 + a^2} \) |
\( t \sin(at) \) |
\( \dfrac{2as}{(s^2 + a^2)^2} \) |
\( e^{-at} \sin(bt) \) |
\( \dfrac{b}{(s + a)^2 + b^2} \) |
\( \cos(at) \) |
\( \dfrac{s}{s^2 + a^2} \) |
\( t \cos(at) \) |
\( \dfrac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2} \) |
\( e^{-at} \cos(bt) \) |
\( \dfrac{s + a}{(s + a)^2 + b^2} \) |
\( \sinh(at) \) |
\( \dfrac{a}{s^2 - a^2} \) |
\( \cosh(at) \) |
\( \dfrac{s}{s^2 - a^2} \) |
\( 1 - \cos(at) \) |
\( \dfrac{a^2}{s(s^2 + a^2)} \) |
\( \left(\dfrac{2}{t}\right)(t - \cos(at)) \) |
\( \ln \left( \dfrac{s^2 + a^2}{s^2} \right) \) |
\( \left(\dfrac{2}{t}\right)(t - \cosh(at)) \) |
\( \ln \left( \dfrac{s^2 - a^2}{s^2} \right) \) |
\( \left(\dfrac{1}{t}\right)\sin(at) \) |
\( \arctan \left( \dfrac{a}{s} \right) \) |