المساحة تحت المنحنى

المساحة تحت المنحنى: مراجعة

يمكننا تقريب المساحة تحت المنحنى من \( x = x_1 \) إلى \( x = x_n \) عن طريق تقسيم المساحة الكلية إلى مستطيلات.

على سبيل المثال، مساحة المستطيل الأول تُعطى بـ:

إضافة مساحات هذه المستطيلات تعطي:

إذا أصبحت \( \Delta x \) في التقريب أعلاه صغيرة بما فيه الكفاية، فإن مجموع مساحات المستطيلات سيقترب من القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى.

ومن ثم، نعرف المساحة الدقيقة باستخدام الغاية (النهاية):

باستخدام مفهوم التكاملات المحددة، يُرمز لهذه الغاية بـ:

نعرض الآن عدة أمثلة حول كيفية استخدام التكاملات لإيجاد المساحة تحت المنحنى، كاملة مع الحلول التفصيلية.

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بـ \( y = 2x \) و \( y = 0 \) و \( x = 0 \) و \( x = 2 \).

الحل للمثال 1

الطريقة 1: الصيغة الهندسية لمساحة المثلث

\[ \text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \; \text{وحدة}^2 \]

الطريقة 2: باستخدام حساب التفاضل والتكامل (التكاملات المحددة)

ليكن \( f(x) = 2x \):

\[ \text{المساحة} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \; \text{وحدة}^2 \]

الطريقة الأولى سريعة للمثلثات، لكن حساب التفاضل والتكامل يعمل مع المنحنيات التعسفية.

المثال 2

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بـ \( y = 0.1x^3 \) و \( y = 0 \) و \( x = 2 \) و \( x = 4 \).

الحل للمثال 2

استخدم التكاملات المحددة لإيجاد المساحة:

\[ \begin{aligned} \text{المساحة} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = 6 \; \text{وحدة}^2 \end{aligned} \]

المثال 3

أوجد مساحة المنطقة المحدودة المنتهية المحصورة بالمنحنى \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) ومحور السينات.

الحل للمثال 3

حدود التكامل هي نقاط التقاطع مع محور السينات، والتي تتضح من الصورة المحللة كـ \( x = 1 \) و \( x = 3 \).

\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right] = -4 \end{aligned} \]

لاحظ أن التكامل المحدد سالب لأن المنحنى يقع تحت محور السينات بين \( x = 1 \) و \( x = 3 \). المساحة الفعليّة هي القيمة المطلقة: \( |-4| = 4 \; \text{وحدة}^2 \).

المثال 4

أوجد مساحة المنطقة المحدودة المنتهية المحصورة بالمنحنى \( y = -0.25x(x + 2)(x - 1)(x - 4) \) ومحور السينات.

الحل للمثال 4

نقاط التقاطع مع محور السينات هي \( x = -2 \)، و \( x = 1 \)، و \( x = 4 \). تنقسم المنطقة إلى ثلاثة أجزاء: من \( -2 \) إلى \( 0 \)، ومن \( 0 \) إلى \( 1 \)، ومن \( 1 \) إلى \( 4 \).

المنطقة 1 (\( [-2, 0] \)):

\[ I_1 = -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 3.4 \]

المنطقة 2 (\( [0, 1] \)):

\[ I_2 = -0.25 \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -0.3625 \]

المنطقة 3 (\( [1, 4] \)):

\[ I_3 = -0.25 \int_{1}^{4} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 13.1625 \]

باستخدام القيمة المطلقة للمناطق السلبية، تصبح المساحة الكلية:

\[ \text{المساحة} = I_1 + |I_2| + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{وحدة}^2 \]

المثال 5

أوجد \( k \) بحيث تكون مساحة المنطقة المنتهية المحصورة بـ \( y = -x(x - k) \) ومحور السينات تساوي \( 4/3 \) وحدة\( ^2 \).

الحل للمثال 5

نقاط التقاطع تقع عند \( x = 0 \) و \( x = k \):

\[ \text{المساحة} = \int_{0}^{k} (-x^2 + kx) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{kx^2}{2} \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{6} \]

بمساواة هذا المقدار بـ \( 4/3 \):

\[ \frac{k^3}{6} = \frac{4}{3} \implies k^3 = 8 \implies k = 2 \]

التمارين

1. أوجد مساحة المنطقة المنتهية المحصورة بين \( y = -(x + 1)(x - 3) \) و \( y = 0 \).
2. أوجد مساحة المنطقة المنتهية المحدودة بـ \( y = \sin(x) \)، \( y = 0 \)، \( x = 0 \)، و \( x = 2\pi \).
3. أوجد \( k > 0 \) بحيث تكون المساحة تحت المنحنى \( y = x + 2 \) بين المحورين الرأسيين \( x = 0 \)، \( x = k \)، ومحور السينات تساوي \( 2 \).

المزيد من المراجع والروابط

• التكاملات وتطبيقاتها في حساب التفاضل والتكامل
• المساحة بين منحنيين
• حجم مجسم دوراني