قواعد التكاملات مع الأمثلة

الخصائص الأساسية، أمثلة خطوة بخطوة مع حلول قابلة للطي، أسئلة تدريبية، والإجابات

تم تقديم درس تعليمي، مع أمثلة وحلول مفصلة، حول استخدام قواعد التكاملات غير المحدودة في التفاضل والتكامل. كما تم تضمين مجموعة من الأسئلة مع الحلول.

وفيما يلي، \( C \) هو ثابت التكامل ويمكن أن يأخذ أي قيمة.

1 - تكامل دالة الأس: \( f(x) = x^n \)

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int x^5 \, dx \)

الحل:

\[ \int x^5 \, dx = \dfrac{x^{5 + 1}}{5 + 1} + c = \dfrac{x^6}{6} + c \]

2 - تكامل دالة \( f \) مضروبة في ثابت \( k \): \( k f(x) \)

\[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int 5 \sin(x) \, dx \)

الحل:

وفقًا للقاعدة أعلاه:

\[ \int 5 \sin(x) \, dx = 5 \int \sin(x) \, dx \]

\( \displaystyle \int \sin(x) \, dx \) مُعطى بواسطة الصيغة 2.1 في جدول صيغ التكامل، وبالتالي:

\[ \int 5 \sin(x) \, dx = -5 \cos x + C \]

3 - تكامل مجموع الدوال

\[ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int (x + e^x) \, dx \)

الحل:

وفقًا للخاصية أعلاه:

\[ \int (x + e^x) \, dx = \int x \, dx + \int e^x \, dx \]

\( \int x \, dx \) مُعطى بواسطة 1.3 و \( \displaystyle \int e^x \, dx \) بواسطة 4.1 في جدول صيغ التكامل، وبالتالي:

\[ \int (x + e^x) \, dx = \dfrac{x^2}{2} + e^x + c \]

4 - تكامل الفرق بين الدوال

\[ \int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) \, dx \)

الحل:

وفقًا للخاصية أعلاه:

\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \]

\( \int 2 \, dx \) مُعطى بواسطة 1.2 و \( \int \frac{1}{x} \, dx \) بواسطة 1.4 في جدول صيغ التكامل، وبالتالي:

\[ \int \left(2 - \frac{1}{x}\right) dx = 2x - \ln|x| + c \]

5 - التكامل بالتعويض

\[ \int f(u) \dfrac{du}{dx} \, dx = \int f(u) \, du \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx \)

الحل:

لتكن \( u = x^2 - 1 \)، وبالتالي \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) ويمكن كتابة التكامل المعطى على النحو التالي:

\[ \int (x^2 - 1)^{20} \cdot 2x \, dx = \int u^{20} \dfrac{du}{dx} \, dx = \int u^{20} \, du \]

والذي يتقيم إلى:

\[ = \dfrac{u^{21}}{21} + c \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = x^2 - 1 \):

\[ = \dfrac{(x^2 - 1)^{21}}{21} + c \]

6 - التكامل بالتجزئة

\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \]

مثال: احسب التكامل \( \displaystyle \int x \cos x \, dx \)

الحل:

لتكن \( f(x) = x \) و \( g'(x) = \cos x \)، مما يعطي \( f'(x) = 1 \) و \( g(x) = \sin x \).

من صيغة التكامل بالتجزئة أعلاه:

\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \]
\[ = x \sin x + \cos x + c \]

المزيد من الأسئلة مع الحلول

استخدم جدول صيغ التكامل والقواعد أعلاه لتقييم التكاملات التالية. [ملاحظة: قد تحتاج إلى استخدام أكثر من قاعدة من القواعد أعلاه لتكامل واحد].

انقر على كل سؤال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

السؤال 1: احسب \( \displaystyle \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx \)

الحل:

خذ الثابت \( \frac{1}{2} \) خارج التكامل:

\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln(x) \, dx \]

استخدم التكامل بالتجزئة. لتكن \( u = \ln(x) \) و \( dv = dx \)، إذن \( du = \frac{1}{x} \, dx \) و \( v = x \):

\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \]
\[ \int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x + C \]

لذلك:

\[ \int \frac{1}{2} \ln(x) \, dx = \frac{1}{2}\bigl(x\ln(x) - x\big) + C \]
السؤال 2: احسب \( \displaystyle \int (\sin x + x^5) \, dx \)

الحل:

استخدم القاعدة 3 (تكامل المجموع) للحصول على:

\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = \int \sin x \, dx + \int x^5 \, dx \]

نستخدم الصيغة 2.1 في جدول صيغ التكامل لتقييم \( \int \sin x \, dx \) والقاعدة 1 أعلاه لتقييم \( \int x^5 \, dx \). إذن:

\[ \int (\sin x + x^5) \, dx = -\cos x + \frac{x^6}{6} + c \]
السؤال 3: احسب \( \displaystyle \int (\sinh x - 3) \, dx \)

الحل:

استخدم القاعدة 4 (تكامل الفرق) للحصول على:

\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \int \sinh x \, dx - \int 3 \, dx \]

نستخدم الصيغة 7.1 في جدول صيغ التكامل لتقييم \( \int \sinh x \, dx \) وتكامل الثابت \( 3 \) للحصول على:

\[ \int (\sinh x - 3) \, dx = \cosh x - 3x + c \]
السؤال 4: احسب \( \displaystyle \int x \sin x \, dx \)

الحل:

الاقتران المراد تكامله هو حاصل ضرب دالتين \( x \) و \( \sin x \). نستخدم التكامل بالتجزئة (القاعدة 6):

لتكن \( f(x) = x \) و \( g'(x) = \sin x \)، إذن \( f'(x) = 1 \) و \( g(x) = -\cos x \).

ثم:

\[ \int x \sin x \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx = -x \cos x - \int 1 \cdot (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx \]

باستخدام الصيغة 2.2 في جدول صيغ التكامل لتقييم \( \int \cos x \, dx \)، نحصل على:

\[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + c \]
السؤال 5: احسب \( \displaystyle \int \sin^{10}(x) \cos(x) \, dx \)

الحل:

لتكن \( u = \sin x \)، وبالتالي \( du = \cos x \, dx \). إذن يمكن كتابة التكامل المعطى على النحو التالي:

\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \int u^{10} \, du \]

استخدم القاعدة 1 لكتابة:

\[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + c \]

عوض عن \( u = \sin x \) للحصول على:

\[ \int \sin^{10} x \cos x \, dx = \frac{1}{11} \sin^{11} x + c \]

المزيد من المراجع والروابط