نظرية القيمة المتوسطة

الأمثلة، التفسيرات البيانية، والحلول التفصيلية

تعتبر نظرية القيمة المتوسطة واحدة من أهم النظريات في التفاضل والتكامل. تتم مناقشتها هنا من خلال الأمثلة والرسوم البيانية. بمجرد الانتهاء من هذا الدرس، قد ترغب في حل مسائل تتعلق بنظرية القيمة المتوسطة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظرية القيمة المتوسطة

لتكن \( f(x) \) دالة متصلة على الفترة المغلقة \( [a, b] \) وقابلة للإشتقاق على الفترة المفتوحة \( (a, b) \). إذن توجد قيمة واحدة على الأقل \( c \) لـ \( x \) في الفترة \( (a, b) \) بحيث:

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

أو

\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]

بعبارة أخرى، يكون لـ خط المماس لمنحنى \( f \) عند \( c \) والقاطع المار بالنقطتين \( (a, f(a)) \) و \( (b, f(b)) \) ميلان متساويان وبالتالي فهما متوازيان.

mean value theorem
الشكل 1. المعنى البياني لنظرية القيمة المتوسطة

أمثلة على تطبيقات نظرية القيمة المتوسطة

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

استخدم نظرية القيمة المتوسطة لإيجاد قيمة \( c \) لـ \( x \) في الفترة \( [1, 5] \) بحيث يكون المماس عند النقطة \( (c, f(c)) \) للمنحنى \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) موازياً للقاطع المار بالنقطتين \( (1, f(1)) \) و \( (5, f(5)) \).

عرض حل المثال 1

ميل المماس عند النقطة \( (c, f(c)) \) يُعطى بواسطة:

\[ f'(c) \]

حيث \( f' \) هي المشتقة الأولى. ميل القاطع المار بـ \( (1, f(1)) \) و \( (5, f(5)) \) يُعطى بواسطة:

\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]

لكي يكون المماس موازياً للقاطع، يجب أن يتساوي ميليهما، ومن ثم:

\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]

الدالة \( f \) هي دالة كثير حدود (تربيعية) وبالتالي فهي متصلة وقابلة للإشتقاق على الفترة \( [1, 5] \)، لذا تتوقع نظرية القيمة المتوسطة وجود قيمة واحدة على الأقل لـ \( x (= c) \) بحيث تكون المساواة أعلاه صحيحة.

المشتقة الأولى هي:

\[ f'(x) = -2x + 7 \]

ميل المماس \( m_1 \) للمنحنى عند \( x = c \) هو:

\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]

ميل القاطع \( m_2 \) المار بالنقطتين \( (1, f(1)) \) و \( (5, f(5)) \) هو:

\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]

جعل \( m_1 = m_2 \) يعطي المعادلة:

\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]

التحقق من الإجابة بيئياً:

نقطة التماس عند \( x = c \) تُعطى بـ \( (3, f(3)) = (3, 6) \).

معادلة المماس:

\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]

في الشكل 2 أدناه، تظهر رسوم الدالة المعطاة ومنحنى المماس لمنحنى \( f \). المماس والقاطع لهما ميول متساوية وبالتالي فهما متوازيان.

graph of function, secant and tangent in example 1 mean value theorem problem
الشكل 2. استخدام نظرية القيمة المتوسطة في المثال 1

ملاحظة: قد يكون هناك أكثر من قيمة لـ \( x (= c) \) تحقق نظرية القيمة المتوسطة، كما يظهر في المثال 2 أدناه.

المثال 2

استخدم نظرية القيمة المتوسطة لإيجاد كل قيم \( x \) في الفترة \( [0, 3] \) بحيث يكون المماس عند النقاط \( (c, f(c)) \) للمنحنى \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) موازياً للقاطع المار بالنقطتين \( (0, f(0)) \) و \( (3, f(3)) \).

عرض حل المثال 2

الدالة \( f \) هي دالة كثير حدود وبالتالي فهي متصلة وقابلة للإشتقاق على الفترة \( [0, 3] \)، لذا تتوقع نظرية القيمة المتوسطة وجود قيمة واحدة على الأقل لـ \( x (= c) \) بحيث يكون المماس لمنحنى \( f \) عند \( x = c \) والقاطع متوازيين وميولهما متساوية.

المشتقة الأولى هي:

\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]

ميل المماس \( m_1 \) عند \( x = c \) هو:

\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]

ميل القاطع \( m_2 \) المار بالنقطتين \( (0, f(0)) \) و \( (3, f(3)) \) هو:

\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]

لكي يكون المماس للمنحنى عند \( x = c \) والقاطع المار بـ \( (0, f(0)) \) و \( (3, f(3)) \) متوازيين، يجب أن يتساوي ميليهما:

\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]

والذي يمكن كتابته على النحو التالي:

\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]

الحل باستخدام العام القانون العام (الصيغة التربيعية) للحصول على حلين:

\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]

حساب التقريب العشري:

\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.78 \quad \text{و} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.55 \]

التحقق من الإجابة بيئياً:

في الشكل 3 أدناه، تظهر رسوم الدالة المعطاة ومخطط المماسين لمنحنى \( f \) المتوازيين للقاطع المار بالنقطتين \( A(0, f(0)) \) و \( B(3, f(3)) \).

graph of function, secant and tangent in example 2 mean value theorem problem
الشكل 3. استخدام نظرية القيمة المتوسطة في المثال 2

المزيد من المراجع والروابط