مسائل نظرية القيمة المتوسطة

الأمثلة، الحلول التفصيلية، والتوضيحات البيانية

تم عرض مسائل تتعلق بـ نظرية القيمة المتوسطة، مع حلول تفصيلية.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظرية القيمة المتوسطة: مراجعة

إذا كانت الدالة \( f \) متصلة على الفترة \( [a, b] \) وقابلة للإشتقاق على الفترة \( (a, b) \)، فإنه يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل \( c \) في الفترة \( (a, b) \) بحيث:

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

تعبر نظرية القيمة المتوسطة عن العلاقة بين ميل المماس للمنحنى عند النقطة \( x = c \) وميل القاطع للمنحنى المار بالنقطتين \( (a, f(a)) \) و \( (b, f(b)) \).

مسائل مع حلول تفصيلية

انقر على كل مسألة لعرض حلها التفصيلي خطوة بخطوة.

المسألة 1

أوجد قيمة \( c \) التي تحقق استنتاج نظرية القيمة المتوسطة للدالة:

\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]

على الفترة \( [-2, 2] \).

عرض حل المسألة 1

\( f(x) \) هي دالة كثير حدود وهي متصلة وقابلة للإشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية. لنحسب قيمة \( f(x) \) عند \( x = -2 \) و \( x = 2 \):

\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \] \[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = -6 \]

احسب \( \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \):

\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-6 - 2}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]

لنوجد الآن \( f'(x) \):

\[ f'(x) = -6x^2 + 6 \]

نصيغ الآن معادلة بناءً على \( f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \):

\[ -6c^2 + 6 = -2 \]

نحل المعادلة بالنسبة لـ \( c \) لنحصل على حلين:

\[ -6c^2 = -8 \implies c^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \] \[ c = \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]

يُعرض أدناه رسم بياني للدالة \( f \)، وقاطع، والمماسين اللذين يوافقان الحلين اللذين تم العثور عليهما. القاطع والمماسان متوازيان لأن ميولهما متساوية وفقاً لنظرية القيمة المتوسطة.

curve with a secant and two tangent: mean value theorem
الشكل 1. توضيح بياني لنظرية القيمة المتوسطة.

المسألة 2

استخدم نظرية القيمة المتوسطة لإثبات أنه لأي عددين حقيقيين \( a \) و \( b \):

\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]
عرض حل المسألة 2

الدالة \( f(x) = \cos x \) متصلة وقابلة للإشتقاق لجميع الأعداد الحقيقية. بتطبيق نظرية القيمة المتوسطة على الفترة بين \( a \) و \( b \) (بفرض أن \( a \neq b \)):

\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = f'(c) \]

حيث \( c \) يقع بين \( a \) و \( b \). بما أن \( f'(x) = -\sin x \)، لدينا:

\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = -\sin c \]

نأخذ القيمة المطلقة لطرفي المعادلة:

\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| = |-\sin c| = |\sin c| \]

بما أن \( |\sin c| \le 1 \) لأي عدد حقيقي \( c \)، فلدينا:

\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| \le 1 \]

من خصائص القيمة المطلقة، \( \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} \):

\[ \dfrac{|\cos a - \cos b|}{|a - b|} \le 1 \]

نضرب طرفي المتباينة في \( |a - b| \) لنحصل على:

\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]

ملاحظة: إذا كان \( a = b \)، فإن المتباينة تتحقق بشكل بديهي لأن \( 0 \le 0 \).

المزيد من المراجع