أسئلة وأمثلة نظرية رول

الأمثلة، التفسيرات البيانية، والأسئلة التدريبية

نظرية رول هي حالة خاصّة من نظرية القيمة المتوسطة. تتم مناقشتها هنا من خلال الأمثلة والأسئلة.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

نظرية رول

نظرية رول هي نتيجة مباشرة لـ نظرية القيمة المتوسطة حيث، تحت شروط أن \( f(x) \) دالة متصلة على الفترة \( [a, b] \) و قابلة للإشتقاق على الفترة المفتوحة \( (a, b) \)، توجد قيمة واحدة على الأقل \( c \) لـ \( x \) بحيث:

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

الآن، إذا تحقق شرط \( f(a) = f(b) \) أيضاً، فإن المعادلة السابقة تَبسُط إلى: \( f'(c) = 0 \).

بعبارة أخرى، تحت هذه الشروط الثلاثة، يمكننا دائماً إيجاد مماس لمنحنى \( f \) بحيث يكون أفقياً (الميل = \( f'(c) = 0 \)).

Rolle's Theorem

If \( f(x) \) is:
1) a continuous function on the interval \( [a, b] \)
2) differentiable on the open interval \( (a, b) \)
3) and \( f(a) = f(b) \)

then there is at least one value \( c \) of \( x \) in the interval \( (a, b) \) such that: \[ f'(c) = 0 \]

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

رسم بياني للدالة \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) لـ \( 1 \le x \le 5 \) موضح أدناه. \( f(1) = f(5) = -1 \) و \( f \) متصلة على \( [1, 5] \) وقابلة للإشتقاق على \( (1, 5) \)، وبالتالي، وفقاً لنظرية رول، توجد قيمة واحدة على الأقل لـ \( x = c \) بحيث \( f'(c) = 0 \).

عرض حل المثال 1
\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

حل المعادلة السابقة للحصول على:

\[ c = 3 \]

لذلك، عند \( x = 3 \)، يوجد مماس لمنحنى \( f \) ميله يساوي صفراً (خط أفقي) كما هو موضح في الشكل 1 أدناه.

use of Rolle's theorem example 1
الشكل 1. نظرية رول، المثال 1

المثال 2

رسم بياني للدالة \( f(x) = \sin(x) + 2 \) لـ \( 0 \le x \le 2\pi \) موضح أدناه. \( f(0) = f(2\pi) = 2 \) و \( f \) متصلة على \( [0, 2\pi] \) وقابلة للإشتقاق على \( (0, 2\pi) \)، وبالتالي، وفقاً لنظرية رول، توجد قيمة واحدة على الأقل (قد تكون هناك أكثر من قيمة واحدة!) لـ \( x = c \) بحيث \( f'(c) = 0 \).

عرض حل المثال 2
\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

المعادلة السابقة لها حلان على الفترة \( [0, 2\pi] \):

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{و} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

لذلك، عند كل من \( x = \dfrac{\pi}{2} \) و \( x = \dfrac{3\pi}{2} \)، توجد مماسات للمنحنى ميولها تساوي صفراً (خطوط أفقية) كما هو موضح في الشكل 2 أدناه.

use of Rolle's theorem example 2, two tangents
الشكل 2. نظرية رول، المثال 2 مع مماسين

المثال 3

الدالة \( f \) في الشكل 3 لا تحقق نظرية رول: على الرغم من أنها متصلة وأن \( f(-1) = f(3) \)، إلا أن الدالة غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 1 \)، وبالتالي فإن وجود \( f'(c) = 0 \) حيث \( c \) في الفترة \( (-1, 3) \) غير مضمون. في الواقع، من السهل أن نرى أنه لا يوجد مماس أفقياً لمنحنى \( f \) على الفترة \( (-1, 3) \).

Graphs of a function with at least one of the conditions not satisfied
الشكل 3. رسم بياني لدالة لا تحقق شرط القابلية للإشتقاق في نظرية رول

أسئلة تدريبية مع حلول تفصيلية

انقر على كل سؤال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

السؤال 1

أي من الدوال المعطاة أدناه تحقق الشروط الثلاثة لنظرية رول؟

أ) \( f(x) = \cos(x) \)، لـ \( x \) في \( [0, 2\pi] \)
ب) \( g(x) = |x - 2| \)، لـ \( x \) في \( [0, 4] \)
ج) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \)، لـ \( x \) في \( [-1, 1] \)
د) \( k(x) = |\sin(x)| \)، لـ \( x \) في \( [0, 2\pi] \)

عرض حل السؤال 1

أ) \( f(0) = 1 \) و \( f(2\pi) = 1 \)، لذلك \( f(0) = f(2\pi) \). الدالة \( f \) متصلة على \( [0, 2\pi] \) وقابلة للإشتقاق في \( (0, 2\pi) \). الدالة \( f \) تحقق جميع شروط نظرية رول.

ب) الدالة \( g \) لها رسم بياني على شكل حرف V مع رأس عند \( x = 2 \) وبالتالي فهي غير قابلة للإشتقاق عند \( x = 2 \). الدالة \( g \) لا تحقق جميع شروط نظرية رول.

ج) الدالة \( h \) غير معرفة عند \( x = 0 \). الدالة \( h \) لا تحقق جميع شروط نظرية رول.

د) \( k(x) = |\sin(x)| \) لـ \( x \) في \( [0, 2\pi] \). يظهر الرسم البياني للدالة \( k \) أدناه أن الدالة \( k \) غير قابلة للإشتقاق عند \( x = \pi \). الدالة \( k \) لا تحقق جميع شروط نظرية رول.

Graph of k(x) = |sin(x)| , for x in [0 , 2π]
الشكل 4. رسم بياني للدالة \( k(x) = |\sin(x)| \)، لـ \( x \) في \( [0, 2\pi] \)

السؤال 2

تحقق من أن الدالة \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) على الفترة \( [1, 3] \) تحقق جميع شروط نظرية رول، ثم أوجد جميع قيم \( x = c \) بحيث \( f'(c) = 0 \).

عرض حل السؤال 2

الدالة \( f \) هي دالة كثير حدود وبالتالي فهي متصلة على الفترة \( [1, 3] \) وقابلة للإشتقاق على الفترة \( (1, 3) \). أيضاً، \( f(1) = f(3) = 0 \)، وبالتالي تحقق الدالة \( f \) جميع شروط نظرية رول الثلاثة، مما يضمن وجود قيمة واحدة على الأقل لـ \( x = c \) بحيث \( f'(c) = 0 \).

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

يظهر الرسم البياني أدناه الدالة \( f \)، والمماس عند \( x = c = 2 \) أفقي مع \( f'(2) = 0 \).

use of Rolle's theorem question 2, f(x) = x^2 - 4x + 3
الشكل 5. نظرية رول، السؤال 2، \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

السؤال 3

تحقق من أن الدالة \( g(x) = \cos(x) \) على الفترة \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) تحقق جميع شروط نظرية رول، ثم أوجد جميع القيم \( x = c \) بحيث \( g'(c) = 0 \).

عرض حل السؤال 3

الدالة \( g \) هي دالة جيب تمام وبالتالي فهي متصلة على الفترة \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) وقابلة للإشتقاق على الفترة \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \). أيضاً:

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

لذلك، تحقق الدالة \( g \) جميع شروط نظرية رول الثلاثة، وتوجد قيمة واحدة على الأقل لـ \( x = c \) بحيث \( g'(c) = 0 \).

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

الحلول على الفترة \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) هي:

\[ c_1 = 0 \quad \text{و} \quad c_2 = \pi \]

يظهر الرسم البياني أدناه الدالة \( g \) والمماسات عند \( x = c_1 = 0 \) و \( x = c_2 = \pi \) حيث تكون أفقية، مع \( g'(0) = 0 \) و \( g'(\pi) = 0 \).

use of Rolle's theorem question 3 , g(x) = cos(x)
الشكل 6. نظرية رول، السؤال 3، \( g(x) = \cos(x) \)

المزيد من المراجع والروابط